Основные свойства дисперсии. Упрощенный дисперсии способом условных моментов.

1.Если каждую варианту «X» увеличить или уменьшить в «∆» раз, то дисперсия соответственно увеличится или уменьшится в «∆²» раз.

2.Дисперсия равна разности между средним квадратом и квадратом средней.

; ;

3.Средний квадрат отклонений (σ_A ²) всех вариант от произвольной постоянной величины «А» больше дисперсии признака «x» на квадрат разности между средней арифметической и этой величиной «А» (X̄ - A)²

∑( - A)² * f/ ∑f = σ_A ² σ² = σ_A ² - (X - A)²

Тогда дисперсию можно рассчитать способом условных моментов:

M₁ =

Порядок расчёта показателей вариации признака (распечатать приложения).

1. Определяется средняя арифметическая величина

Таблица 1

Схема расчета показателей вариации признака

Группы (интервалы по колич. признаку)	Число единиц совокупности (f)	Центральная варианта (x)	x*f
….
….
….
ИТОГО		-

2. Расчётную таблицу можно дополнить столбцами для расчёта остальных показателей вариации признака (продолжение).

Продолжение табл.1

-		-

3. Определяют показатели вариации

Примеры расчётов см. в файле Excel «Примеры к лекциям 5, 6)»

4. Мода и медиана

При изучении вариации признаков широко используют показатели - мода и медиана.

Мода – это варианта, которая наиболее часто встречается в вариационном ряду.

В дискретном ВРР моду определяют по mах частоте.

В ИВРР сначала определяют модальный интервал. Затем рассчитывают моду:

X₀ – нижняя граница модального интервала;

f_2, f_1, f₃ – частоты соответственно модального интервала, предшествующего модальному, следующего за модальным.

МЕДИАНА – это варианта, которая стоит посредине вариационного РР. Порядковый номер медианного интервала определяют следующим образом:

Пример для дискретного ВРР.

Таблица2

Распределение студентов по результатам сдачи сессии

экзамен. оценка	Число студентов	Кумулятивные частоты
5	10	10
4	14	24
3	5	29
2	2	31
итого	31

M_e=4, M_о=4

В ИВРР сначала определяют медианный интервал. Для этой цели используют кумулятивные частоты (накопленные). Затем определяют медиану:

X₀ – нижняя граница медианного интервала;

S_m-1 – сумма накопленных частот, включая интервал, предшествующий медианному;

f_m – частота медианного интервала.

Мода, медиана и средняя арифметическая используются при анализе закономерностей распределения.

Тип распределения характеризует коэффициент ассиметрии:

1)НОРМАЛЬНОЕ (симметричное) распределение (k_a=0)

2)АССИМЕТРИЧНОЕ – левосторонняя ассиметрия (k_a<0)

<M_e<M_o

3)АССИМЕТРИЧНОЕ – правосторонняя ассиметрия (k_a>0)

>M_e>M_o