4.4.Порядоквыполненияработы

1. Позаданномумассиву(вариантзаданияопределяетпрепо-даватель)вычислить«вручную»статистическиехарактеристики:среднееарифметическоезначение;среднеегеометрическоезначе-ние;среднееотклонение;квадратичноеотклонение;стандартное

отклонение;максимальноеиминимальноезначения;дисперсию;доверительныйинтервал;моду;медиану.

2. Датьопределениекаждойхарактеристикеисделатьвыводохарактеревыборкипополученнымстатистическимхарактеристи-

кам.

3. Проверитьполученныезначениястатистическиххарактери-стиксиспользованиемпакетаMSExcel;

3. Построитьграфикраспределенияслучайныхзначений.

4. Построитьгистограммураспределенияслучайныхзначе-

ний.

3. Построитьнормальнуюкривуюраспределенияслучайных

величин.

3. Подготовитьотчетопроведениилабораторнойработы.Вотчетепривестинеобходимыевыводы.

4. Ответитьнаконтрольныевопросыиподготовитьсякзащи-

телабораторнойработы.

ПримервыполненияотчетаполабораторнойработеприведенниженаРисунке4.1.

4.5Контрольныевопросы

1. Дайтеопределенияпонятиямиформулыдлявычисления:

• среднееарифметическоезначение;

• среднеегеометрическоезначение;

• среднееотклонение;

• квадратичноеотклонение;

• стандартноеотклонение;

• максимальноеиминимальноезначения;

• дисперсия;

• доверительныйинтервал;

• мода;

• медиана;

• размах.

2. Какпостроитьгистограммураспределенияслучайныхзна-чений?

3. Какпостроитьнормальнуюкривуюраспределенияслучай-

ныхвеличин?

43

Рисунок4.1–Примервыполнениялабораторнойработы№4

Лабораторнаяработа№5

Планированиеоднофакторногоэкспериментаиполучение

функциональнойзависимостимеждудвумявеличинами

методомнаименьшихквадратов(2часа)

1. Цельработы:

Получениефункциональнойзависимостимеждудвумявели-чинамиметодомнаименьшихквадратов.

2. Задачиработы

• изучитьтеоретическиеположенияметоданаименьшихквад-ратов;

• построитьграфикискомойфункциональнойзависимости;

• определитькоэффициенткорреляции;

• сделатьнеобходимыевыводыпоработе.

3. Краткиетеоретическиесведения

Взадачиэкспериментавходитнетолькоизмерениепостоян-ныхвеличин,ноиисследованиезависимостеймеждуразличнымихарактеристиками.

Большинствозаконов,втомчислефундаментальных,форму-лируетсяввидеуравнений,связывающихмеждусобойразличныевеличины.

Дляисследованиявзаимосвязивеличиниспользуютсякакэкспериментальные,такитеоретическиеметоды.Передпроведе-ниемлюбыхэкспериментовобязательнодолженпроводитьсятео-

ретическийанализпоставленнойпроблемы.

РассмотримдвевеличиныXиY,связанныенекоторойфунк-циональнойзависимостью.Дляопределенностиположим,чтове-

личинаYявляетсянекоторойфункциейFдругойвеличиныX:

Y=F(X). (5.1)Длятого,чтобыполучитьконкретныйвидфункцииF(X),какправило,необходимопровестиизмерениязначенийзависимойпе-

ременнойYприразличныхзначенияхаргументаX.

Напомним,чторезультатыопытавсегдасодержатслучайныепогрешности(см.лабораторнуюработу№2).Длякаждогоопреде-

ленногозначенияаргументаx_kэкспериментдаетвкачествезначе-

нияфункциивеличинуy_k==F(x_k)+∆k,где∆k—погрешностьиз-меренияy_k.

Заметим,чтовеличины∆kмогутбыть,вообщеговоря,какпо-

ложительными,такиотрицательными.

Многократноеповторениеизмерениязначенияфункциипрификсированномзначенииаргументаx_kспоследующимусреднени-емрезультатовнепозволяетуменьшитьпогрешностьвеличиныF(x_k)донуля.Среднеквадратичнаяпогрешностьстанетнулемтоль-коприбесконечномчислеповторенийопытавнеизменныхуслови-ях.

Следуетпомнить,чтоеслиполностьюотсутствуеттеоретиче-скаяинформацияофункциональнойзависимости,тоэксперимен-тальныхисследованийнедостаточнодляполученияудовлетвори-тельногоприближениявидафункцииF(X).Поэтомупередпрове-дениемэкспериментаисследуемаязависимостьвеличинXиYнаосноветеоретическихсоображенийописываетсянекоторойопре-деленнойфункцией

Y=F(X,A,B,C,...). (5.2)

Видэтойфункциизадан,ноонасодержитодинилинесколькопостоянныхпараметровA,B,C,...,значениякоторыхнеизвестныдо

проведенияэкспериментов.

Сначаларассмотримслучаи,когдавсеизмерениязначенийфункцииYпроводятсяприразличныхзначенияхаргументаX.Если

измеренияпроводилисьNраз,торезультатомэкспериментаявля-ютсяNпарчисел—значенийизучаемыхвеличин:

x_k,y_k,k=1,...,N. (5.3)

Практическиникогданеудаетсяподобратьчисленныезначе-нияпараметровA,B,C,…так,чтобыфункциязаданноговида(5.2)удовлетворялавсемэкспериментальнымрезультатам(5.3).ПоэтомунеизбежнымэтапомработыявляетсяпоискнекихопределенныхзначенийпараметровA,B,C,...,прикоторыхдостигаетсянаилуч-шеесогласиемеждуэкспериментальнымирезультатами(5.3)итео-ретическойзависимостью(5.2).Этаматематическаяпроцедурана-зываетсяаппроксимациейрезультатовэкспериментафункциейоп-ределенноготипа.Найденнаяфункциянаилучшегоприближенияиззаданногокласса(5.2)называетсяаппроксимирующей.

Принципиальнаятрудностьзаключаетсяввыборекритериякачестваполученногоприближенияфункции(5.2).Возможныраз-личныемненияпоповодутого,какоеприближениеполагать«наи-лучшим».Однимизэлементарныхспособоврасчетанеизвестныхпараметровфункциинаосноверезультатовопытовявляетсяметоднаименьшихквадратов.

Методнаименьшихквадратовобладаеттемзамечательнымсвойством,чтоделаетопределеннойлюбуюпроизвольнуюсистему

уравнений.

Вданнойработенеобходимопорезультатамопытныхданных

построитьлинейнуюмодель�=��+�.Такоеуравнениеназыва-

етсяуравнениемрегрессии.Уравнениерегрессииможетбыть,в

общемслучае,скольугоднобольшогопорядкаиопределятьсяана-литическойфункцией.Внашемслучаезадачасводитсякопределе-

ниюнеизвестныхкоэффициентовлинейногоодномерногоуравне-

ния:аиb.

Коэффициентыопределяютсярешениемсистемыуравнений

(5.4):

𝑛 𝑛 𝑛

2

��_𝑖

��=1

𝑛

+��_𝑖

��=1

=�_��∙�_𝑖;

��=1

𝑛

��_𝑖+�𝑛=�_𝑖.

��=1

��=1

Длятогочтобысказатьсуществуетлифункциональнаясвязьмеждупеременными,следуетопределитькоэффициенткорреляции(5.5):

𝑛^�_{𝑖�𝑖−}^�_𝑖^�_𝑖

𝑟=

𝑖

𝑖

^𝑛�2

• �_𝑖^2∙𝑛�2

• �_𝑖²

Коэффициенткорреляциилежитвпределахот0до1:0≤r≤1,приэтом,если:r=0–линейнойсвязинет,r=1–функциональнаясвязьесть.