Пути и циклы в графе.

Путём в графе от вершины A₁ до вершины A_n называется последовательность рёбер A₁A₂, A₂A₃,…, A_n-1A_n, при условии, что ни одно ребро не входит в эту последовательность дважды.

Циклом в графе называется замкнутый путь.

П уть (цикл) называется простым, если он не проходит ни через одну из своих вершин более одного раза.

Длиной пути (цикла) называется число рёбер, входящих в этот путь.

Теорема 4:

Если у графа все простые циклы имеют чётную длину, то этот граф не имеет ни одного цикла нечётной длины.

Доказательство:

Допустим, что у такого графа имеется цикл нечётной длины, тогда по условию этот цикл может быть только непростым.

Тогда этот непростой цикл нечётной длины можно разбить на 2 цикла, один из которых имеет чётную длину, а другой нечётную (потому что нечётное число можно разбить на 2 слагаемых, одно из которых – чётно, а другое – нечётно). Из этих двух циклов тот, который имеет нечётную длину, также разобьём на два цикла, один из которых четен, другой нечетен и т.д, пока не дойдём до двух простых циклов, один из которых чётной длины, а второй – нечётной. Это противоречит условию. чтд

Две вершины А и B графа называются связными, если существует путь, соединяющий эти вершины и несвязными в противном случае.

Граф называется связным, если любые две его вершины связные.

Теорема 5:

Связный граф G является простым циклом тогда и только тогда, когда степень каждой его вершины равна 2.

Доказательство:

1 . пусть G – связный граф, являющийся простым циклом, тогда он не может проходить ни через одну из своих вершин 2-ды, тогда в каждую вершину входит одно ребро и выходит одно ребро, а значит стА_i=2.

2 . Пусть у связанного графа стА_i=2.

Н ачнём цикл из любой вершины А по одному из двух рёбер выходящих из этой вершины. Мы окажемся в B, из B также выйдем по второму рёбру и окажемся в С и т.д. продолжим эту ситуацию, тогда мы окажемся в любой вершине и можем закончить в А, т.к. у А – 2 ребра.

Таким образом построили простой цикл. чтд

Мосты в графе.

Ребро AB называется мостом графа, если при удалении этого ребра вершины А и В становятся несвязными.

П ризнаки моста:

1. Ребро АВ графа является мостом тогда и только тогда, когда оно является единственным путём, связывающим вершины А и В.

2. Ребро АВ является мостом тогда и только тогда, когда АВ не принадлежит ни одному циклу.

Д оказательство:

1 . допустим, что АВ принадлежит циклу, но тогда существует два пути, а это противоречит определению моста.

2 . если АВ не принадлежит ни одному циклу, то АВ есть мост.

Удалим ребро АВ из графа, тогда А и В станут несвязными, а значит АВ является мостом.

3 . Ребро АВ является мостом тогда и только тогда, когда существуют такие две вершины графа С₁ и С₂, что любой путь, идущий из С₁ в С₂ проходит по ребру АВ.

Деревья и леса.

Деревом называется связный граф, не имеющий циклов.

Л есом называется несвязный граф, являющийся объединением деревьев.

Если граф состоит из одной изолированной вершины, то его также считают деревом, хотя рёбер у такого графа нет.

Свойство деревьев и лесов:

1. Любое ребро в дереве и в лесу является мостом.

2. Для любых двух вершин дерева существует единственный путь, соединяющий эти вершины (по первому свойству моста.)

Теорема 7 (о деревьях):

Дерево с n вершинами имеет (n-1) ребро.

Доказательство:

Рассмотрим случай, когда дерево не является изолированной вершиной. Для того, чтобы из одного дерева, не являющегося изолированной вершиной, получить два дерева, необходимо удалить из него одно ребро. Для образования трёх деревьев необходимо удалить из него два ребра. Самое большое из дерева с n вершинами получить n деревьев, каждое из которых является изолированной вершиной. Для этого необходимо удалить n-1 ребро. Итак действительно в дереве с n вершинами n-1 ребро.