5.4. Сетевое планирование в условиях неопределенности

При определении временных параметров сетевого графика до сих пор предполагалось, что время выполнения каждой работы точно известно. Однако чаще всего продолжительность работы по сетевому графику заранее не известна и может принимать лишь одно из диапазона возможных значений. Другими словами, продолжительность работы является случайной величиной, характеризующейся своим законом распределения, а значит, своими числовыми характеристиками – средним значением, или математическим ожиданием, и дисперсией .

Практически во всех системах сетевого планирования и управления априори принимается, что распределение продолжительности работ обладает тремя свойствами: а) непрерывностью; б) унимодельностью; в) функция, описывающая распределение, неотрицательна в области неотрицательных значения аргумента.

Кроме того, установлено, что распределение продолжительности работ обладает положительной асимметрией, т.е. максимум кривой смещен влево относительно медианы (линии, делящей площадь под кривой на две равные части). Распределение, как правило, круто поднимается слева от максимального значения и полого опускается справа (рис. 5.2).

Простейшим распределением с подобными свойствами является известное в математической статистике распределение Релея:

.

Анализ большого количества статистических данных показывает, что это распределение можно использовать в качестве априорного для всех работ.

Рисунок 5.2 – Распределение Релея

Для определения числовых характеристик и этого распределения для работы используют реальные статистические данные о продолжительности работ.

Пусть известны случайные длительности работы . Оценку неизвестного параметра можно осуществить методом максимума правдоподобия. Для этого необходимо составить функцию правдоподобия

.

Логарифмическая функция правдоподобия имеет вид

Максимизация полученного выражения по дает максимально правдоподобную оценку этого параметра. Для этого продифференцируем выражение по и приравняем производную к нулю

.

Отсюда

,

тогда

. (5.12)

Для распределения Релея известно соотношение между значениями математического ожидания и дисперсией :

. (5.13)

Зная и , можно определять временные параметры сетевого графика и оценивать их надежность. Но при этом необходимо учесть, что эти параметры являются средними значениями соответствующих случайных величин: средней длиной критического пути , средним значением раннего срока наступления события , средним значением полного резерва времени выполнения работы и т.п. Причем, чем больше суммарная дисперсия продолжительности работ критического пути, тем более вероятны значительные по абсолютной величине отклонения.

Поэтому предварительный анализ сетей со случайными продолжительностями работ, как правило, не ограничивается расчетами временных параметров сети. Весьма важным моментом анализа становится оценка вероятности того, что срок выполнения проекта не превзойдет заданного директивного срока . Такая вероятность будет равна

.

Если сетевой график включает в себя большое количество работ (более 20), то считают что – случайная величина, имеющая нормальный закон распределения. В этом случае вероятность того, что срок выполнения проекта не превзойдет заданного директивного срока , вычисляется следующим образом:

. (5.14)

Когда вероятность мала (например, меньше 0,3), то опасность срыва заданного срока выполнения комплекса велика, необходимо принятие дополнительных мер (перераспределения ресурсов по сети, пересмотр состава работ и событий и т.п.). Если значительна (например, более 0,8), то очевидно, с достаточной степенью надежности можно прогнозировать выполнение проекта в установленный срок.