1. Признаки подобия треугольников (доказательство одного по выбору). Свойства подобных фигур.

2. Теорема косинусов для четырехугольника.

3. Задачи:

а. Внутри круга, радиус которого равен 13 см, дана точка М, отстоящая от центра круга на 5см. Через точку М проведена хорда АВ, равная 25см. Определить длину отрезков, на которые хорда АВ делится точкой М.

б. Диаметр СD окружности перпендикулярен хорде АВ. АВ и СD пересекаются в точке Е, СЕ = 2см. Сумма АВ и СЕ равна диаметру окружности. Найти радиус окружности.

БИЛЕТ № 17

1. Вывод формулы площадь треугольника: , , формула Герона.

2. Нахождение значений синуса, косинуса, тангенса и котангенса углов 30° и 60°.

3. Задачи:

а. В равнобедренной трапеции средняя линия равна щ, а диагонали взаимно перпендикулярны. Вычислите площадь трапеции.

б. Вычислите площадь трапеции по ее сторонам а, b, с, d.

БИЛЕТ № 18

1. Вывод формулы площади параллелограмма ,

2. Вывод формулы радиуса описанной и вписанной окружности.

3. Задачи

а. В прямоугольнике ABCD сторона АВ в 5 раз меньше диагонали АС. Найдите диагональ ВD, если периметр треугольника АОВ равен 66 см. (О точка пересечения диагоналей прямоугольника)

б. ABCD квадрат со стороной а. Вершины С, А,В являются серединами отрезков BM, ND, DF соответственно. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника NFM.

БИЛЕТ № 19

1. Определение трапеции. Виды трапеции. Вывод формулы площади трапеции.

2. Теорема синусов.

3. Задачи:

а. Найти острые углы треугольника ABC, если С = 90°, АС = , ВК = 1, где СК высота треугольника.

б. В треугольник ABC вписана окружность C₁B₁ в точке ее касания со сторонами АВ и АС соответственно. AC₁ =7, BC₁ = 6, B₁C =8. Найдите радиусы вписанной и описанной около треугольника ABC окружностей

БИЛЕТ № 20

1. Теорема Пифагора (прямая и обратная).

2. Простейшие задачи в координатах.

3. Задачи:

а. Найти площадь треугольника с вершинами А(1;4), В(-3;-1), С(2;-2).

б. В прямоугольном треугольнике АВС ( С= 90°), АС =3, АВ =5, AM биссектриса угла CAB. Найдите длину медианы ME треугольника АМВ

БИЛЕТ № 21

1. Четыре замечательные точки в треугольнике (сформулировать все теоремы, доказать одну по выбору).

2. Нахождения медианы треугольника по трем сторонам.

3. Задачи:

а. Треугольники ABC и A₁B₁C₁ подобны. АВ =3, ВС =5, АС =7. Сумма квадрата меньшой стороны треугольника A₁B₁C₁ и его большой стороны равна 50. Найдите периметр треугольника A₁B₁C₁.

б. Доказать, что в четырехугольнике, вписанном в окружность, сумма произведений противоположных сторон равна произведению диагоналей.

БИЛЕТ № 22

1. Доказать теорему косинусов.

2. Нахождения медианы треугольника по трем сторонам.

3. Задачи:

а. Найдите площадь фигуры ограниченной дугами трех попарно пересекающихся окружностей радиусов 1; 1;

б. Круги радиусов 1; 6; 14 касаются друг друга. Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник с вершинами в центрах данных окружностей.

БИЛЕТ № 23

1. Окружность Аполлония.

2. Доказать, что в четырехугольнике, вписанном в окружность, сумма произведений противоположных сторон равна произведению диагоналей.

3. Задачи:

а. Катеты прямоугольного треугольника являются корнями уравнения х⁴- 4х² +3 =0. Найдите гипотенузу и углы треугольника.

б. Окружность, касающаяся гипотенузы прямоугольного треугольника, а так же продолжений его обоих катетов, имеет радиус q. Найдите периметр треугольника