Уточнения понятия однородности
Понятие «однородность», т. е. «отсутствие различия», может быть формализовано в терминах вероятностной модели различными способами.
Наивысшая степень однородности достигается, если обе выборки взяты из одной и той же генеральной совокупности, т. е. справедлива нулевая гипотеза
H0 : F(x)=G(x) при всех х.
Отсутствие однородности означает, что верна альтернативная гипотеза, согласно которой
H1 : F(x0) G(x0)
хотя бы при одном значении аргумента x0. Если гипотеза H0 принята, то выборки можно объединить в одну, если нет - то нельзя.
В некоторых случаях целесообразно проверять не совпадение функций распределения, а совпадение некоторых характеристик случайных величин Х и Y - математических ожиданий, медиан, дисперсий, коэффициентов вариации и др. Например, однородность математических ожиданий означает, что справедлива гипотеза
H'0 : E(X)=E(Y),
где Е(Х) и E(Y) - математические ожидания случайных величин Х и Y, результаты наблюдений над которыми составляют первую и вторую выборки соответственно. Различие между выборками в рассматриваемом случае - это справедливость альтернативной гипотезы
H'1 : E(X) E(Y) .
Если гипотеза H0 верна, то и гипотеза H'0 верна, но из справедливости H'0 не следует справедливость H0 . В частности, если в результате обработки выборочных данных принята гипотеза H'0, то отсюда не следует, что две выборки можно объединить в одну. Однако в ряде ситуаций целесообразна проверка именно гипотезы H'0 . Например, пусть концентрация SiO2 в мартеновском шлаке определяется весовым (первая выборка) или фотоколориметрическим (вторая выборка) методами. Тогда важно проверить гипотезу об отсутствии систематических расхождений результатов весового и фотоколориметрического методов [2], т.е. гипотезу о равенстве математических ожиданий. Другой пример – из медицины труда. Пусть изучается эффективность лечения определенного профессионального заболевания двумя препаратами; результаты наблюдения - число дней нетрудоспособности, а показатель эффективности лечения - среднее число дней нетрудоспособности на одного больного. Тогда для сравнения эффективности препаратов достаточно проверить гипотезу H'0 .
Проверим однородность дисперсий. Определим расчетное значение критерия Фишера:
(3.1)
где S1,S2 – соответственно дисперсии при силах поджима круга 40Н и 80Н соответственно. Табличное значение F-критерия при уровне значимости =0,05 и f1 = f2 =8 составляет 8,05[6].
Таблица 3.4. Расчетное и табличное значение критерия Фишера.
Время шлифования, мин |
Расчетное |
Табличное |
10 |
0,426048851 |
8,05 |
15 |
0,893293012 |
8,05 |
30 |
1,700214364 |
8,05 |
45 |
1,196386212 |
8,05 |
60 |
1,352833095 |
8,05 |
Так как расчетное значение F – критерия меньше табличного ( Fрасч < 8,05 ), то дисперсии однородны.
Определяем доверительный интервал [6]:
(3.2)
где t - критерий Стьюдента, для количества степеней свободы f=0,8, t =2,306.
Sz определяем по формуле [6]:
(3.3)
где n1, n2 – количество степеней свободы.
Sсв определяем следующим образом:
(3.4)
Результаты расчетов по формулам (3.1) и (3.4) сводим в таблицу 3.5.
Таблица 3.5. Данные для проверки однородности дисперсий.
Время шлифования, мин |
Средневзвешенное значение Sсв,мкм |
Доверительный интервал Z,мкм |
10 |
14,87846432 |
17,15486936 |
15 |
20,92831814 |
24,13035081 |
30 |
20,43854442 |
23,56564172 |
45 |
22,12216309 |
25,50685405 |
60 |
21,8769342 |
25,22410513 |
Проведем проверку однородности результатов параллельных опытов. С этой целью при уровне значимости =0,05 находим доверительный интервал для каждой пар точек графиков. Расчеты проводим по формулам:
(3.5)
(3.6)
Результаты расчетов приведены в таблице 3.6.
Таблица 3.6. Данные для проверки однородности экспериментальных значений величин контактных площадок.
Время |
40H |
80H |
|||
обработки, мин |
limax,мкм |
limin,мкм |
limax,мкм |
limin,мкм |
|
10 |
44,32949 |
33,00251 |
44,51002 |
30,48998 |
|
15 |
53,86283 |
38,80317 |
53,07827 |
37,58773 |
|
30 |
61,99789 |
46,00211 |
51,33705 |
37,32895 |
|
45 |
65,69169 |
49,64231 |
61,50592 |
46,16008 |
|
60 |
63,75573 |
47,57827 |
56,16714 |
41,16686 |
Так как в соответствии с таблицей 3.6. результаты измерения попадают в доверительные интервалы то средние величины площадок износа можно считать однородными.
Определим разность средних значений величин площадок износа в каждый момент времени обработки по формуле:
(3.7)
В теории надежности согласно принятой терминологии объект исследования называют изделием и понимают под ним элемент, систему или часть системы. Простым объектом считают материальное тело конечных размеров, являющееся однородным во всех измерениях и защищенным от всех внешних воздействий, за исключением приложенной нагрузки. Сложный объект представляет собой гетерогенную систему. Как правило, технические объекты и конструкции составляются из ряда узлов или элементов и представляют собой сложные объекты. Отнесение объекта к простым или сложным зависит от выбранного критерия однородности, т.е. физического уровня оценки гомогенности структуры объекта.
Распределение зерен по параметрам структуры в объеме можно изобразить в виде графиков. Кривая, пик которой достигает 100%, соответствует однородной структуре. Однородность означает одинаковость, эквивалентность всех пространственных точек в один и тот же момент времени.
а
Во многих случаях распределение зерен по размерам имеет нормальный или логарифмически-нормальный характер и подчиняется известным соотношениям
В отличие от равномерного распределения данных в случае Fн, при логарифмически-нормальном распределении имеет место крутой спад в области значений L<Lr и пологое изменение при L> L r.
На рисунке 2.8 показано распределение кристаллов по размерам для образцов палладия, изготовленных по методу Г.Глейтера прессованием ультрадисперсного порошка.
Это данные компьютерной обработки темнопольных изображений, полученных с использованием ПЭМ (общее число кристаллитов 6150!), а так же рентгеноструктурного анализа. Линии 2, 3 показывают логарифмически нормальное распределение результатов ПЭМ и РСА.
Рис 1
Рис 2