Закон ома для переменного тока. Полное сопротивление цепи

Рассмотрим цепь, состоящую из последовательно подключенных резистора, катушки и конденсатора. В любой момент времени приложенное напряжение равно сумме напряжений на каждом элементе.

Так как элементы соединены последовательно, колебания силы тока во всех элементах происходят по закону i = I_max cos(ωt).

Колебания напряжения на резисторе совпадают по фазе с колебаниями силы тока, колебания напряжения на конденсаторе отстают по фазе на π/2 от колебаний тока, колебания напряжения на катушке опережают по фазе колебания тока на π/2.

Поэтому условие равенства суммы напряжений общему можно записать как:

u = U_Rm cos(ωt) + U_Cm cos(ωt - ) + U_Lm cos(ωt + )

U_Rm = I_m R ; U_Cm = I_m X_C = I_m ; U_Cm = I_m X_L = I_m ωL

Воспользовавшись векторной диаграммой, можно увидеть, что амплитуда напряжений в цепи равна:

U_max = = = I_max

Проведя тригонометрические преобразования, можно показать, что мгновенное напряжение, приложенное к контуру меняется по гармоническому закону:

u = U_m cos(ωt + φ)

где φ - сдвиг по фазе между напряжением и силой тока

φ = arctg

I_m =

Полное сопротивление цепи обозначают Z:

Z = =

Полное сопротивление в цепи переменного тока зависит от частоты тока.

Начальную фазу  можно найти по формуле:

cos(φ) = = =

Мгновенная мощность в цепи переменного тока равна:

p = I²R = I²_mR cos(ωt)

Поскольку среднее значение квадрата косинуса за период равно 1/2:

P =

Если в цепи присутствует катушка и конденсатор, то по закону Ома для переменного тока:

P = = = IU cos(φ)

Величина cos(φ) = называется коэффициентом мощности.

Резонанс в электрической цепи

Если амплитуда переменного напряжения, приложенного к колебательному контуру, постоянна то амплитуда вынужденных колебаний силы тока в контуре зависит от частоты:

I_m = =

Емкостное и индуктивное сопротивления зависят от частоты приложенного напряжения. Поэтому при постоянной амплитуде напряжения амплитуда силы тока зависит от частоты.

Максимальная амплитуда силы тока возникает, если:

ωL =

Это момент наступает при частота вынужденных колебаний, совпадающей с частотой собственных колебаний контура:

ω = = ω₀

При таком значении частоты, при котором ω₀L = , сумма напряжений на катушке и конденсаторе становится равной нулю, т.к. их колебания противоположны по фазе.

В результате, напряжение на активном сопротивлении при резонансе оказывается равным полному напряжению, а сила тока достигает максимального значения.

Резонанс в колебательном контуре – физическое явление резкого возрастания амплитуды колебаний силы тока в контуре при совпадении частоты вынужденных колебаний с частотой собственных колебаний контура.

Выразим индуктивное и емкостное сопротивления при резонансе:

X_C = X_L = Lω_рез = = ,

следовательно U_Lm = U_Cm = I_mX_L =

Это выражение показывает, что при резонансе амплитуда колебаний напряжения на катушке и конденсаторе могут превосходить амплитуду колебаний приложенного напряжения.

Резонансная кривая – график зависимости амплитуды вынужденных колебаний силы тока от частоты приложенного к контуру напряжения.

1. При малых частотах: ω → 0

I_m → ωCU_m преобладает емкостное сопротивление цепи

2. При высоких частотах: ω → ∞

I_m → преобладает индуктивное сопротивление цепи

3. При резонансе I_m = U_m/R, график резонансной кривой имеет максимум при ω = ω₀

Чем больше активное сопротивление, тем менее резко выражен резонанс.

Явление резонанса широко используется в радиотехнике в схемах выделения требуемой частоты (фильтрации).

Колебательный контур служит для выделения сигнала требуемой частоты в схемах настройки радиоприемников. Катушка контура соединяется с приемной антенной и в ней наводится переменное напряжение. Собственная частота колебательного контура настраивается подстроечным конденсатором. При частоте ω = ω₀ принимаемый сигнал создает в контуре силу тока, значительно превышающую сигналы других частот.