4. Дискретное программирование

В задачах дискретного программирования результатом решения должны быть целые, но не любые целые.

Пример 3. Мебельная фабрика выпускает диваны, кресла и стулья. Требуется определить, сколько можно изготовить спинок диванов, подлокотников кресел и ножек стульев при известном удельном расходе ресурсов (табл. 4)., чтобы доход был максимальным.

Таблица 4.

	Изделия			Наличие ресурса
Показатели	спинка дивана	подлокотники кресла	ножка стула
Цена, д. е./ед.	20	6	8	—
Древесина	10	5	3	206
Трудозатраты	2	7	4	100
Спрос	10	8	12	—
	x1	x2	x3

Причем выпуск спинок дивана может принимать любое значение, подлокотники изготавливаются парами, т. е. их количество должно быть кратно двум, а количество ножек стульев — четырем.

Решение. С учетом этих требований математическая модель задачи запишется:

L =

10,

10,

10,

где - варианты количества подлокотников и ножек (k = 1, …, k_i).

Здесь дополнительное введение булевых переменных дает возможность обеспечить выпуск изделий в кратном задан­ном количестве. Так, для подлокотников x₂ может принимать следующие значения: если в результате решения будет получено , а остальные то x₂; если , а остальные , то x₂ = 4 и т.д.

Для решения задачи с учетом дополнительных условий мы ввели еще семь переменных и четыре ограничения. Следовательно, введение дополнительных требований при­вело к увеличению размерности задачи. Заметим, что если бы нам требовалось определить выпуск спинок, подлокотников и ножек для одного изделия (комплекта), то можно было бы записать x₂ = 2х₁; х₃ = 4x₁ и не вводить дополни тельных ограничений и булевых переменных. Но это была бы другая задача.

В результате решения задачи были получены следующие значения: max L = 320; = 1; = 4; = 12; 0;

При этом оказались не полностью использованы ресур­сы: резерв первого равен 50, второго — 4 ед.

Такое недоиспользование характерно для задач цело­численного программирования, т. е. ресурс, остается, но для использования на увеличение дискретного количества продукции его оказывается недостаточно.

В общем виде задачу распределения ресурсов с учетом требования дискретного значения переменных можно за­писать:

max(min)

где , , …, , … — дискретные значения, которые может принимать переменная . Эта система отличается от обычной задачи распределения ресурсов появлением бу­левых переменных и увеличением числа ограничений:

max(min)

Значит, в данном случае, как и всегда, за удовлетворе­ние дополнительных требований приходится платить уве­личением размерности задачи и целочисленностью.