Задача № 4
Предлагается изучить взаимосвязи социально-экономических показателей региона за период.
удельный вес занятых в экономике среди всего населения региона, %;
среднемесячная заработная плата 1-го занятого в народном хозяйстве региона, тыс. руб.;
среднемесячный душевой доход населения региона, тыс. руб.;
средний возраст населения региона, лет;
доля безработных среди экономически активного населения, %;
стоимость продукции и услуг в среднем на 1-го занятого в народном хозяйстве региона, тыс. руб.;
инвестиции текущего года в народное хозяйство региона, млрд руб.;
среднемесячный размер назначенной пенсии, тыс. руб.
Приводится система рабочих гипотез, справедливость которые необходимо проверить:
Задание:
1. На основе рабочих гипотез постройте систему структурных уравнений и проведите их идентификацию;
2.Укажите, при каких условиях может быть найдено решение каждого из уравнений и системы в целом. Дайте обоснование возможных вариантов подобных решений и аргументируйте выбор оптимального варианта рабочих гипотез;
3.Опишите методы, с помощью которых может быть найдено решение уравнений (косвенный МНК, двухшаговый МНК).
Решение:
1 . Построим систему структурных уравнений
У1 = a0 + a1*У2 + a2*У3 + a3*Х1+ a4*Х2
У2 = a0 + a1*У1+ a2*У3 + a3*Х3 + a4*Х4 + a5*Х5
У3 = a0 + a1*У1 + a2*У2 + a3*Х2 + a4*Х4 + a5*Х5
Эти уравнения – линейной множественной регрессии.
В соответствии со счетным правилом проверим идентифицируемость системы уравнений.
В модели 3 эндогенных переменных: Y1, Y2, Y3
5 экзогенных переменных: Х1-5.
Лаговых переменных нет.
Общее число предопределенных переменных К = 5 + 0 = 5.
Первое уравнение:
У1 = a0 + a1*У2 + a2*У3 + a3*Х1+ a4*Х2
Здесь 3 эндогенных переменных: m = 3
И 2 предопределенных переменных: k = 2
Проверяем на идентификацию:
K – k = 5 – 2 = 3 > m – 1 = 3 – 1 = 2
Уравнение сверх идентифицировано.
Второе уравнение:
У2 = a0 + a1*У1+ a2*У3 + a3*Х3 + a4*Х4 + a5*Х5
Здесь также 3 эндогенных переменных: m = 3
Три предопределенных переменных: k = 3
Проверяем на идентификацию:
K – k = 5 – 3 = 2 = m – 1 = 3 – 1 = 2
Уравнение является точно идентифицированым.
Третье уравнение:
У3 = a0 + a1*У1 + a2*У2 + a3*Х2 + a4*Х4 + a5*Х5
Здесь также 3 эндогенных переменных: m = 3
Три предопределенных переменных: k = 3
Проверяем на идентификацию:
K – k = 5 – 3 = 2 = m – 1 = 3 – 1 = 2
Уравнение также является точно идентифицированым.
Следовательно, вся система точно идентифицирована, то есть имеется лишь одно решение. Его можно получить с помощью косвенного метода наименьших квадратов (КМНК).
2. С одной стороны большое число влияющих факторов позволяет свести к минимуму неучтенные воздействия на систему (построить более точную математическую модель), а с другой стороны усложняет решение системы уравнений (сводит их к неразрешимой системе). Следовательно, необходимо стремиться к достаточности количества аргументов (переменных) для заданного уровня точности решения поставленной задачи.
3. Когда данные не отвечают статистическим требованиям, накладываемым обычным методом наименьших квадратов, следует пользоваться взвешенным методом наименьших квадратов (ВМНК) и двухэтапным методом наименьших квадратов (2МНК). ВМНК позволяет назначить больший вес наблюдениям, которые точнее или надежнее других. 2МНК позволяет управлять корреляциями между предикторами и ошибками, что часто нужно при анализе данных, зависящих от времени.