![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
Преобразование Фурье
, (1.1)
. (1.2)
Свертка функций
,
(1.22)
где
выполнена замена аргумента
с параметрами
,
;
,
;
,
и использовано
.
Физический смысл свертки для линейного и стационарного преобразователя сигналов
f1(t') – входящий сигнал (например, ЭДС) в момент t',
f2(t) – выходящий сигнал (например, ток) в момент t.
Выполняются:
1) принцип суперпозиции – входящие сигналы для разных моментов времени преобразуются независимо, не влияя друг на друга, поэтому преобразование линейное;
2) принцип причинности – если входящий сигнал включается в момент t', то выходящий сигнал отсутствует при более ранних временах t < t';
3) принцип однородности – реакция преобразователя в момент t на сигнал, поступивший в момент t', не изменяется при сдвиге начала отсчета времени, поэтому реакция зависит от (t – t'). Однородность по времени выполняется для стационарного преобразователя с постоянными параметрами.
Принципам удовлетворяет свертка
,
где
– функция Грина
– реакция преобразователя
на импульсный
входящий сигнал;
– функция
включения;
– аппаратная
функция.
Выходящий сигнал линейного стационарного преобразователя является сверткой входящего сигнала и функции Грина преобразователя.
Теорема о свертке – фурье-образ свертки функций равен произведению их фурье-образов
.
(1.24)
Доказательство:
.
Под
интегралом сделана замена
,
и учтено
.
Выполняется
.
(1.25)
Доказательство:
.
Под
интегралом сделана замена
.
Теорема о произведении – фурье-образ произведения функций равен свертке их фурье-образов
,
.
(1.26)
Для доказательства (1.26) выполняем фурье-преобразование (1.25)
и используем интегральную теорему (1.20)
.
Дифференцирование
.
(1.35)
Доказательство:
Используем
,
(1.2)
получаем
.
Сравнение результата с (1.2) дает (1.35).
Умножение
функции на
,
.
(1.37)
Доказательство:
Используем
,
(1.1)
получаем
.
Сравнение результата с (1.1) дает (1.37).
Преобразование периодических функций
Фурье-спектр
функции с периодом L
получается путем разложения изучаемой
функции по базису гармонических функций
с периодами
,
где
Спектр периодической функции дискретный.
Базисы
периодических функций
При
используем
,
где учтено
,
Получаем базисы
,
,
;
:
,
,
;
:
,
,
;
Вещественные периодические базисы
,
;
,
,
Ортонормированность базисов
,
:
.
,
:
,
(1.43)
,
.
,
,
.
(1.45)
,
,
.
(1.46)
Преобразование Фурье комплексной функции с периодом L
Используем ортонормированный базис
.
Разложение по базису является рядом Фурье
.
(1.48)
Ищем
коэффициенты
,
выполняя
.
Учитывая (1.43)
и
переобозначая
,
получаем
.
(1.49)
Дискретный спектр
.
(1.47)
Подстановка (1.47)
. (1.2)
дает (1.48)
.