32. Формулы Грина, Стокса и Остроградского.

Формула Грина.

Пусть D – конечная, вообще говоря, многосвязная область на плоскости Oxy с кусочно- гладкой границей L (т.е. если она составлена из конечного числа гладких кривых. Если граница L состоит из конечного числа кусочно- гладких кривых L_i, то связную область D обычно называют многосвязной, а кривые L_i называют связными компонентами границы.). Область D с присоединенной границей L будем обозначать .

Теорема 1. Пусть функции P(x,y) и Q(x,y) непрерывны в и имеют непрерывные частные производные 1-го порядка в D. Если  несобственные интегралы по области D от каждой из частных производных функций P(x,y) и Q(x,y) (так как частные производные P(x,y) и Q(x,y)  лишь в открытой области D, то упомянутые интегралы являются несобственными. При дополнительном предположении о непр-ти указанных частных производных в упомянутые интегралы переходят в собственные.), то справедливо соотношение (1), называемое формулой Грина. При этом стоящий в правой части (1) интеграл представляет собой сумму интегралов по связным компонентам границы L, на которых указано такое направление обхода, при котором область D остается слева.

Теорема 2. Пусть в области D типа К функции P(x,y) и Q(x,y) удовлетворяют условиям теоремы 1. Тогда для этой области и для функций P(x,y) и Q(x,y) справедлива формула Грина.

Достаточно убедиться в справедливости равенств , (2)

Так как указанные равенства доказываются однотипно, проведем доказательство 2-го из них.

Рассмотрим двойной интеграл . (3)

Для области и для подынтегральной функции в интеграле (3) выполняются все условия, при которых действует формула повторного интегрирования. По этой формуле имеем

(4)

Левая часть соотношений (4) при n→ имеет предел, равный интегралу . В силу равномерной непрерывности функции P(x,y) в замкнутой области , каждое из слагаемых в правой части (4) имеет при n→ предел, равный для 1-го слагаемого и для 2-го . Первый из этих двух интегралов представляет собой криволинейный интеграл , а второй - . Правая часть соотношений (4) при n→ имеет предел, равный . 

Инвариантная запись формулы Грина.

Пусть функции P(x,y) и Q(x,y) удовлетворяют условиям теоремы 1 в конечной связной области D с кусочно – гладкой границей L. Определим в области = D+L векторное поле p, координаты которого в данной декартовой прямоугольной системе координат равны P(x,y) и Q(x,y). Очевидно, при условиях, наложенных на функции P(x,y) и Q(x,y), поле p будет непрерывным в области и непрерывно-дифференцируемым в области D. Найдем ротор этого векторного поля. Используя выражение rot p в ортонормированном базисе i, j, k, получим: . Из этого соотношения получим . (5)

Зам.1. Перейдем в пл-ти Oxy к новому ортонормированному базису i’, j’ и к новой ДСК Ox’y’, связанной с этим базисом. Пусть векторное поле р имеет в этом базисе координаты P’ и Q’. Очевидно, в новой системе координат функции P’ и Q’ удовлетворяют условиям теоремы 1. Кроме того, т.к. в новом базисе , то (6)

Т.к. скалярное произведение krotp представляет собой инвариант, то из (5) и(6) следует, что выражение не меняет ни значения, ни формы при переходе к новому ортонормированному базису, т.е. также представляет собой инвариант.

С помощью этого замечания можно сделать важный вывод: интеграл, находящийся в левой части формулы Грина (1), имеет инвариантный характер – его значение и форма не меняются при переходе к новой ДСК. Действительно, при таком преобразовании координат абсолютная величина якобиана преобразования равна 1. Согласно же зам., подынтегральное выр-ние не меняет ни значения, ни формы.

Обратимся теперь к интегралу (7), находящемуся в правой части формулы Грина. Убедимся, что этот интеграл также имеет инвариантный характер – его значение и форма не меняются при переходе к новой ДСК.

Пусть t- единичный вектор касательной в точках границы L, направление которого согласовано с направлением обхода на L, cos и sin -координаты вектора t. Выберем в качестве параметра на L длину дуги l, причем на каждой связной компоненте границы возрастание параметра l согласовано с направлением обхода на этой компоненте. При условиях, наложенных на L, функция t(l) будет кусочно-непрерывной. При сформ-ных выше условиях векторное поле р будет непрерывным на L, а его координаты P и Q представляют собой непрерывные функции от L.

Заметим, что после выбора направления обхода и параметра на кривой L криволинейный интеграл 2-го рода (7) преобразуется в криволинейный интеграл 1-го рода. При этом P и Q вычисляются в точках L, а dx= cos dl, dy= sin dl. Т.о., (8)

Соотношение (8) показывает, что интеграл (7) действительно имеет инвариантный характер: скалярное произведение pt – инвариант, параметризация с помощью длины дуги не связана с системой координат. Кроме того, в новой ДСК Ox’y’ имеем pt dl=(P’cos’+Q’sin’)dl=P’dx’+Q’dy’, и поэтому

Pdx+Qdy=P’dx’+Q’dy’. Итак, интеграл (7) имеет инвариантный характер – его значение и форма не меняются при переходе к новой ДСК.

Инвариантная форма:

Формула Стокса.

Пусть S – ограниченная, полная, кусочно-гладкая, двусторонняя поверхность с кусочно-гладкой границей Г. Окрестностью поверхности S будем наз-ть любое открытое множество Ω, содержащее S.

Теорема 1. Пусть в некоторой поверхности S функции P(x, y, z), Q(x, y, z) и R(x, y, z) непрерывны и имеют непрерывные частные производные 1-го порядка. Тогда имеет место след. соотношение:

(1), называемой формулой Стокса. При этом, стоящий в правой части интеграл представляет собой сумму интегралов по связным компонентам границы Г, на которых указано такое направление обхода, при котором, с учетом выбора стороны поверхности, поверхность S остается слева.

Используя форму записи поверхностных интегралов 2-го рода и обозначения X, Y, Z для углов, которые образуют нормаль к поверхности с осями координат, можно переписать формулу Стокса

(2)

Теорема 2. (формула Стокса для гладкой поверхности, однозначно проектирующейся на 3 координатные плоскости) Пусть S – ограниченная, полная, гладкая, двусторонняя, односвязная пов-ть с кусочно-гладкой границей Г. Будем считать, что S однозначно проектируется на каждую из координатных плоскостей системы Oxyz. Пусть в некоторой окрестности S заданы функции P, Q, R, непрерывные в этой окрестности и имеющие в ней непрерывные частные производные 1-го пор-ка. Тогда справедлива формула Стокса (1).

Инвариантная запись формулы Стокса.

Пусть функции P(x, y, z), Q(x, y, z) и R(x, y, z) непрерывны и имеют непрерывные частные производные 1-го пор-ка в некоторой окрестности Ω поверхности S. Определим в Ω векторное поле р, координаты которого в данной ПДСК равны Р, Q, R. Очевидно, при условиях, наложенных на функции Р, Q, R поле р будет непрерывным и диф-мым в Ω. Найдем ротор этого поля. Используя выражение для rot p в ортонормированном базисе i, j, k, получим

(3)

Выберем на поверхности S определенную сторону, т.е. укажем на S непрерывное поле единичных нормалей n. Обращаясь к выражению (3) для rot p и используя стандартное обозначение cosX, cosY, cosZ для координат единичного вектора нормали n к поверхности S, получим

(4).

Из (4) следует, что интеграл, стоящий в левой части формулы Стокса (2), может быть записан в виде (5). Итак, находящийся в левой части формулы (2) интеграл после выбора определенной стороны поверхности можно рассматривать как поверхностный интеграл 1-го рода (5) от функции n rot p, заданной на поверхности S. Так как скалярное произведение n rot p и элемент площади dσ пов-ти S не зависят от выбора ПДСК в пространстве, то при переходе к новому ортонормированному базису i’, j’, k’ левая часть формулы (2) не изменит своего значения и формы, т.е. эта левая часть инвариантна относительно выбора ПДСК в пространстве.

Обратимся теперь к интегралу (6), находящемуся в правой части формулы Стокса.

Убедимся, что этот интеграл имеет также инвариантный характер – его значение и форма не маняются при переходе к новой декартовой системе координат.

Пусть t- единичный вектор касательной в точках границы Г поверхности S, направление которого согласовано с направлением обхода на Г, cos, cos, cos - координаты вектора t. Выберем за параметр на Г длину дуги l,причем на каждой связной компоненте границы возрастание параметра согласовано с направлением обхода на этой компоненте. При условиях, наложенных на Г, функция t(l) будет кусочно-непрерывной. Так как поле р непрерывно на Г, то его координаты представляют собой на Г непрерывные функции от L. Заметим, что после выбора направления обхода и параметра на кривой Г криволинейный интеграл 2-го рода (6) преобразуется в криволинейный интеграл 1-го рода. При этом P, Q, R вычисляются в точках Г, а dx=cos dl, dy=cos dl, dz=cos dl. Т.о.,

(7)

Соотношения (7) показывают, что интеграл (6) действительно имеет инвариантный характер: скалярное произведение pt – инвариант, параметризация с помощью длины дуги не связана с системой координат.

В новой ДСК Ox’y’z’ имеем pt dl= (P’cos’+Q’cos’+R’cos’)dl=P’dx’+Q’dy’+R’dz’.

Поэтому Pdx+Qdy+Rdz=P’dx’+Q’dy’+R’dz’.

Отметим, что интеграл наз. циркуляцией векторного поля р по кривой Г.

Проведенные рассуждения позволяют придать формуле Стокса (1) или (2) след. инвариантную форму: