- •Лекция 2. Теория игр
- •27.1. Платежная матрица игры
- •27.2. Равновесие по Нэшу
- •27.3. Смешанные стратегии
- •27.4. Дилемма заключенного
- •27.5. Повторяющиеся игры
- •Равновесие Курно
- •10.1. Рынок сбыта электролампочек находится в условиях олигополии, где имеется два продавца, их объемы производства определяются формулами:
- •10.2. В отрасли, производящей легковые автомобили "Ока", действуют две фирмы. Спрос на них описывается уравнением:
- •10.5. Функция издержек (tc) для двух фирм имеют значения:
Равновесие Курно
10.1. Рынок сбыта электролампочек находится в условиях олигополии, где имеется два продавца, их объемы производства определяются формулами:
Q1=120-2Q2;
Q2=120-2Q1,
где Q1, Q2 – объемы продаж 1-й, 2-й фирм.
Определите:
а) функции реагирования (кривые спроса) аналитически и графически;
б) объем продаж каждой фирмы.
Решение
а) Функция реагирования показывает зависимость объема выпуска одной фирмы от поведения другой фирмы. Построим кривые спроса для Q1, Q2 как линейные функции.
Если Q1=0, то Q2=60; если Q2=0 то Q1=120;
Если Q2=0, то Q1=60; если Q1=0 то Q2=120.
Получаем функции реагирования, отображенные на рис. 10.1.
б) Составим уравнения спроса для каждой фирмы:
Тогда для Q1 получаем:
Q1=120-2(120–2Q1), или Q1=120-240+4Q1
Отсюда Q1=40. Аналогично Q2=40.
Ответ: Q1=Q2=40.
10.2. В отрасли, производящей легковые автомобили "Ока", действуют две фирмы. Спрос на них описывается уравнением:
P=100-Qd, (10.1)
где P – цена одного автомобиля в тыс. руб.;
Qd – количество легковых автомобилей в тыс. штук.
Предельные издержки обеих фирм постоянны и равны 7 тыс. руб.
Определите:
а) объем выпуска автомобилей для каждой фирмы;
б) цену легкового автомобиля.
Решение
а) Будем использовать формулу Курно для олигополии, состоящей из двух конкурирующих фирм:
где Pm – максимальная цена автомобиля.
Из уравнения (10.1) получаем, что Pm=100 (т.к. Q=0), следовательно:
(тыс. шт.).
б) Для расчета цены можно использовать формулу:
,
или определить цену из уравнения спроса (10.1). Тогда соответственно получаем:
(тыс. руб.);
P=100-2×31=38 (тыс. руб.).
Покажем это графически (рис. 10.2).
Ответ: Q1,2=31; P=38.
10.3. В отрасли действуют две фирмы. Спрос на всю продукцию фирм задан соотношением:
P=75-0,5Qd,
где Qd – объем спроса в тыс. штук;
P – цена товара в руб.
Предельные издержки (MC) не меняются и равны 15 руб. Определить параметры производства для фирм.
Решение
Используем формулы Курно:
. (10.2)
. (10.3)
Из уравнения спроса мы видим, что Pm – максимальная цена при Q=0 равна 75 руб. и b=0,5. Тогда получаем:
тыс. штук.
руб.
Или из уравнения спроса получаем:
P=75–0,5×40×2=35 руб.
Ответы:
Q1,2=40 тыс. шт.
P1,2=35 руб.
10.4. Функции общих издержек для двух фирм в условиях дуополии Курно выражаются уравнениями:
TC1=0,2+6Q1+0,5Q12;
TC2=2-4Q2+Q22.
Рыночный спрос определяется уравнением:
P=20-2Q.
Определите:
а) параметры производства для фирм;
б) прибыль, получаемую каждой фирмой.
Решение
а) Объем выпуска определяем по формуле (10.2), при этом Pm=20 и b=2 – из условия задачи.
Из функций общих издержек найдем значения MC1 и MC2. По условию, MC=TC¢, тогда:
MC1=6+Q1 и MC2=-4+2Q2.
Из уравнения (10.2) получаем:
, отсюда 7Q1=14 и Q1=2.
, отсюда 8Q2=24 и Q2=3.
Тогда P=20-2(Q1+Q2)=20-2(2+3)=10.
б) Прибыль фирмы рассчитываем по формуле:
PR=TR-TC. (10.4)
Тогда:
PR1=TR1-TC1=P×Q1-TC1=10×2-0,2-6×2-0,5×22=20-14,2=5,8.
PR2=TR2-TC2=P×Q2-TC2=10×3-2+4×3-32=42-11=31.
Ответы:
а) Q1=2; Q2=3; P=10.
б) PR1=5,8; PR2=31.