2.2 Решение задачи с помощью программы «Нахождение оптимального маршрута»

2.3 Решение задачи с помощью сайта Semestr.Ru

Возьмём в качестве произвольного маршрута:

X₀ = (1,2);(2,3);(3,4);(4,5);(5,1)

Тогда F(X₀) = 10 + 10 + 20 + 15 + 10 = 65

Для определения нижней границы множества воспользуемся операцией редукции или приведения матрицы по строкам, для чего необходимо в каждой строке матрицы D найти минимальный элемент.

d_i = min(j) d_ij

табл. 2.3.1
i j	1	2	3	4	5	di
1	M	10	25	25	10	10
2	1	M	10	15	2	1
3	8	9	M	20	10	8
4	14	10	24	M	15	10
5	10	8	25	27	M	8

Затем вычитаем d_i из элементов рассматриваемой строки. В связи с этим во вновь полученной матрице в каждой строке будет как минимум один ноль.

Такую же операцию редукции проводим по столбцам, для чего в каждом столбце находим минимальный элемент:

d_j = min(i) d_ij

табл. 2.3.2
i j	1	2	3	4	5
1	M	0	15	15	0
2	0	M	9	14	1
3	0	1	M	12	2
4	4	0	14	M	5
5	2	0	17	19	M
dj	0	0	9	12	0

После вычитания минимальных элементов получаем полностью редуцированную матрицу, где величины d_i и d_j называются константами приведения.

табл. 2.3.3
i j	1	2	3	4	5
1	M	0	6	3	0
2	0	M	0	2	1
3	0	1	M	0	2
4	4	0	5	M	5
5	2	0	8	7	M

Шаг №1.

Определяем ребро ветвления и разобьем все множество маршрутов относительно этого ребра на два подмножества (i,j) и (i*,j*).

табл. 2.3.4
i j	1	2	3	4	5	di
1	M	0(0)	6	3	0(1)	0
2	0(0)	M	0(5)	2	1	0
3	0(0)	1	M	0(2)	2	0
4	4	0(4)	5	M	5	4
5	2	0(2)	8	7	M	2
dj	0	0	5	2	1	0

Наибольшая сумма констант приведения равна (0 + 5) = 5 для ребра (2,3), следовательно, множество разбивается на два подмножества (2,3) и (2*,3*). Нижняя граница гамильтоновых циклов этого подмножества:

H(2*,3*) = 58 + 5 = 63

табл. 2.3.5
i j	1	2	3	4	5	di
1	M	0	6	3	0	0
2	0	M	M	2	1	0
3	0	1	M	0	2	0
4	4	0	5	M	5	0
5	2	0	8	7	M	0
dj	0	0	5	0	0	5

В результате получим другую сокращенную матрицу (4 x 4), которая подлежит операции приведения.

Сумма констант приведения сокращенной матрицы:

∑d_i + ∑d_j = 0

После операции приведения сокращенная матрица будет иметь вид:

табл. 2.3.6
i j	1	2	4	5	di
1	M	0	3	0	0
3	0	M	0	2	0
4	4	0	M	5	0
5	2	0	7	M	0
dj	0	0	0	0	0

Нижняя граница подмножества (2,3) равна:

H(2,3) = 58 + 0 = 58 < 63

Поскольку нижняя граница этого подмножества (2,3) меньше, чем подмножества (2*,3*), то ребро (2,3) включаем в маршрут.

Шаг №2.

Определяем ребро ветвления и разобьем все множество маршрутов относительно этого ребра на два подмножества (i,j) и (i*,j*).

табл. 2.3.6
i j	1	2	4	5	di
1	M	0(0)	3	0(2)	0
3	0(2)	M	0(3)	2	0
4	4	0(4)	M	5	4
5	2	0(2)	7	M	2
dj	2	0	3	2	0

Наибольшая сумма констант приведения равна (4 + 0) = 4 для ребра (4,2), следовательно, множество разбивается на два подмножества (4,2) и (4*,2*). Нижняя граница гамильтоновых циклов этого подмножества:

H(4*,2*) = 58 + 4 = 62

табл. 2.3.7
i j	1	2	4	5	di
1	M	0	3	0	0
3	0	M	0	2	0
4	4	M	M	5	4
5	2	0	7	M	0
dj	0	0	0	0	4

В результате получим другую сокращенную матрицу (3 x 3), которая подлежит операции приведения.

Сумма констант приведения сокращенной матрицы:

∑d_i + ∑d_j = 2

После операции приведения сокращенная матрица будет иметь вид:

табл. 2.3.8
i j	1	4	5	di
1	M	3	0	0
3	0	0	2	0
5	2	7	M	2
dj	0	0	0	2

Нижняя граница подмножества (4,2) равна:

H(4,2) = 58 + 2 = 60 < 62

Чтобы исключить подциклы, запретим следующие переходы: (3,4). Поскольку нижняя граница этого подмножества (4,2) меньше, чем подмножества (4*,2*), то ребро (4,2) включаем в маршрут.

Шаг №3.

Определяем ребро ветвления и разобьем все множество маршрутов относительно этого ребра на два подмножества (i,j) и (i*,j*).

табл. 2.3.9
i j	1	4	5	di
1	M	0(2)	0(2)	0
3	0(2)	M	2	2
5	0(2)	2	M	2
dj	0	2	2	0

Наибольшая сумма констант приведения равна (0 + 2) = 2 для ребра (1,4), следовательно, множество разбивается на два подмножества (1,4) и (1*,4*).

Нижняя граница гамильтоновых циклов этого подмножества:

H(1*,4*) = 60 + 2 = 62

табл. 2.3.10
i j	1	4	5	di
1	M	M	0	0
3	0	M	2	0
5	0	2	M	0
dj	0	2	0	2

В результате получим другую сокращенную матрицу (2 x 2), которая подлежит операции приведения.

Сумма констант приведения сокращенной матрицы:

∑d_i + ∑d_j = 2

После операции приведения сокращенная матрица будет иметь вид:

табл. 2.3.11
i j	1	5	di
3	0	2	0
5	0	M	0
dj	0	2	2

Нижняя граница подмножества (1,4) равна:

H(1,4) = 60 + 2 = 62 < 62

Поскольку нижняя граница этого подмножества (1,4) меньше, чем подмножества (1*,4*), то ребро (1,4) включаем в маршрут.

В соответствии с этой матрицей включаем в гамильтонов маршрут ребра (3,5) и (5,1).

В результате по дереву ветвлений гамильтонов цикл образуют ребра:

(2,3), (3,5), (5,1), (1,4), (4,2),

Длина маршрута равна F(Mk) = 65