4. Изменение моментов инерции при параллельном переносе осей

Часто при решении практических задач необходимо определять моменты инерции сечения относительно осей, различным образом ориентированных в его плоскости. При этом удобно использовать уже известные значения моментов инерции всего сечения (или отдельных составляющих его частей) относительно других осей, приводимые в технической литературе, специальных справочниках и таблицах,

В самом общем случае переход от любой старой к любой новой системе координат может рассматриваться как два последовательных преобразования старой системы координат:

1) путем параллельного переноса осей координат в новое положение и

2) путем поворота их относительно нового начала координат. Рассмотрим первое из этих преобразований, т. е. параллельный перенос координатных осей.

Предположим, что моменты инерции J_y, J_z и J_yz данного сечения относительно старых осей у и z (рис. 18.5) известны. Возьмем новую систему координат у и z оси которой параллельны прежним. Обозначим а и b координаты точки О₁ (т. е. нового начала координат) в старой системе координат yz. Рассмотрим элементарную площадку dF. Координаты ее в старой системе координат равны у и z. В новой системе они равны

у₁=у-а и z₁= z-b

Подставим эти значения координат в выражение осевого момента инерции относительно

оси z

С учетом предыдущих формул

Если ось z проходит через центр тяжести сечения, то статический момент S _z =0 и

Из формулы (25.5) видно, что момент инерции относительно любой оси, не проходящей через центр тяжести, больше момента инерции относительно оси, проходящей через центр тяжести, на величину d*F, которая всегда положительна. Следовательно, из всех моментов инерции относительно параллельных осей осевой момент инерции имеет наименьшее значение относительно оси, проходящей через центр тяжести сечения.

Момент инерции относительно оси у₁ [по аналогии с формулой(24.5)

В частном случае, когда ось у проходит через центр тяжести сечения.

Формулы (25.5) и (27.5) широко используются при вычислении осевых моментов инерции сложных составных сечений.

Подставим теперь значения у₁=у-а и z₁= z-б в выражение центробежного момента инерции относительно осей у₁ и z₁;

В частном случае, когда начало старой системы координат у z находится в центре тяжести сечения.

Если сечение симметрично и одна из старых осей (или обе) совпадает с осью симметрии, то J_yz = 0 и выражение (29.5) принимает вид

5. Изменение моментов инерции

ПРИ ПОВОРОТЕ ОСЕЙ

Предположим, что известны моменты инерции J_у, J_z и J_yz сечения относительно осей yи z старой системы координат с началом в точке О (рис. 19.5).

Возьмем новую систему координат y₁z₁ началом в той же точке О, но повернутую на некоторый угол α относительно старой. Будем считать угол α положительным; если старую систему координат для перехода к новой надо повернуть на этот угол против хода часовой стрелки.

Рассмотрим элементарную площадку dF с координатами у и z в старой системе координат. Определим координаты у₁ и z₁ этой площадки в новой системе координат. Из рис. 19.5 следует:

Подставим эти значения координат в выражение осевого мо­мента инерции относительно оси z_x:

Если сложить величины моментов инерции относительно осей у₁ и z₁ то

Следовательно, сумма осевых моментов инерции относительно двух взаимно перпендикулярных осей сохраняет постоянную вели­чину при повороте осей на любой угол. Этот результат объясняется также тем, что сумма моментов инерции относительно двух взаимно перпендикулярных осей равна полярному моменту инерции относительно начала координат .[см. формулу (11.5)]; величина же полярного момента инерции не изменяется, если начало координат остается на месте, а координатные оси поворачиваются.

Определим теперь величину центробежного момента инерции относительно осей у₁ z₁: