6.2. Скорость утечки тепловых нейтронов из единичного объёма активной зоны

Уравнение баланса тепловых нейтронов можно записывать для всех тепловых нейтронов в реакторе:

dN/dt = (скорость генерации ТН в а.з.) - (скорость поглощения ТН в а.з.) - (скорость утечки ТН из а.з.),

а можно и для единичного объёма активной зоны (например, для 1 см³):

dn/dt = (ск. генерации ТН в 1см³а.з.) - (ск. поглощения ТН в 1см³а.з) - (ск. утечки ТН из 1 см³ а.з.) (6.2.1)

Второе уравнение получается из первого путём почленного деления обеих частей его на величину объёма активной зоны V_аз. В этом случае в левой части (6.2.1) получается средняя по объёму активной зоны скорость изменения плотности тепловых нейтронов, равно как и в правой части этого логического равенства получаются средние величины скоростей ге­нерации, поглощения и утечки тепловых нейтронов в 1 см³ среды активной зоны.

Выражения для первых двух слагаемых правой части (6.2.1) нам уже известны, остается получить выражение для третьего - скорости утечки тепловых нейтронов из единичного объёма среды активной зоны.

Для этого около произвольной точки активной зоны с координатами r(x,y,z) мысленно выделим элементарный объём dV = dx dy dz и сосчитаем вначале скорость утечки тепловых нейтронов из этого объёма.

Предположим, что плотность тока тепловых нейтронов на левой грани этого элементарного объёма площадью dy dz равна I_x, а на правой грани (той же площади dy dz) она равна I_x+dI_x. Это значит, что через левую грань в элементарный объём входит ежесекундно I_xdydz тепловых нейт­ронов, а через правую грань проходит ежесекундно (I_x+dI_x)dydz тепло­вых нейтронов.

Z dx

I_x I_x+dI_x dz

0

X

Y

Рис.6.4. Иллюстрация к выводу величины скорости утечки тепловых нейтронов из элементарного объёма активной зоны.

Разница чисел тепловых нейтронов, ежесекундно пересекающих левую и правую грани элементарного объёма, и есть составляющая скорости утечки тепловых нейтронов из этого объема вдоль оси Оx:

dQ_x = (I_x+dI_x)dydz - I_xdydz = dI_xdydz = (dI_x/dx)dxdydz = (dI_x/dx)dV.

Аналогично рассуждая относительно составляющих скоростей утечки из элементарного объёма вдоль осей Оy и Oz, можно получить:

dQ_y = (dI_y/dy)dV и dQ_z = (dI_z/dz)dV,

а, следовательно, полная скорость утечки тепловых нейтронов из элементарного объёма вдоль всех трёх координатных осей составит:

dQ = dQ_x + dQ_y + dQ_z = [(dI_x/dx) + (dI_y/dy) + (dI_z/dz)]dV = I(r)dV (6.2.2)

Для получения скорости утечки из единичного объёма надо скорость утечки из элементарного объёма dV разделить на величину этого объёма:

q_у = dQ/dV =  I(r) (6.2.3)

Но выражение для вектора плотности тока тепловых нейтронов в соот­ветствии с законом Фика для них:

I(r) = - D  Ф(r).

Подстановка этого выражения в (6.2.3) дает:

q_у = [-DФ(r)] = -D [ Ф(r)] = - D ²Ф(r), (6.2.4)

поскольку оператор Гамильтона от оператора Гамильтона функции, как известно, есть оператор второго порядка этой же функции - оператор Ла­пласа. В теории поля оператор Лапласа иначе называют дивергенцией.

Таким образом, в общем виде локальная скорость утечки теп­ловых нейтронов из единичного объёма с учётом величины коэффици­ента диффузии (D = 1/3_tr) выразится так:

(6.2.5)