Примеры экономико-математических моделей

1.Для изготовления 2х видов продукции предприятия использует 3 вида сырья, запасы которого составляют 20,40 и 30 тонн.

На производство единицы продукции 1ого вида используется 2,8 и 5 т сырья соответственно

Для продукции 2ого вида нормы расхода = 5, 5 и 6 т.

Цена реализации единицы продукции составляет 50 и 40 рублей соответственно.

Требуется составить план выпуска продукции, обеспечивающий максимальный объема реализации в предположении, что рынок сбыта неограничен.

1)

Сырье(т)/продукция(ед)	Нормы		Запасы сырья(т)
	Р1 (X1)	Р2 (x2)
S1	2	5	20
S2	8	5	40
S3	5	6	30
Цена реализации за ед	50	40

2)Цель ясна в задаче

3)Разделение на управляемые и неуправляемые:

Обозначим через x1 x2 объем выпуска продукции р1 и р2 соответственно.

Обе переменные являются управляемыми, поскольку выбор их значения подконтролен ЛПР.

4)Записать целевую функцию

f(x1,x2)=50*x1+40*x2 -> max

S1:2*x1+5*x2 <= 20

S2:8*x1+5*x2 <= 40

S3:5*x1+6*x2 <= 30

X1,X2>=0

Построенная модель (классифицируем) относится к классу задач линейного программирования (ЛП). Это обусловлено наличием у анализируемой ситуации 2х свойств, а именно –

• Пропорциональность – означает, что вклад каждой переменной в целевую функцию и левые части ограничений пропорционален величине этой переменной. (огрубление) (не учитываются скидки, масштаб и т.п.)

• Аддитивность – целевая функция и левые части ограничений представляют собой сумму вкладов всех переменных, причем вклад каждой переменной пропорционален ее текущему значению.

Вывод: Область применения линейных моделей ограничена.

Задача о составление производственной программы обобщается на произвольное число видов продукции и видов сырья. Общая постановка задачи звучит так:

-Для производства Т видов продукции:Р1,Р2,Р3 и т.д. используется S единиц видов сырьяSSS . известны технологические коэффициенты Aij,которые указывают, сколько единиц i-ого ресураса затрачивается на производства единицы j-ой продукции. Запасы сырья = bi, i=1…n, цена реализации продукции cj=cj,j=1…n. Требуется составить план производства, обеспечивающий максимальный объем реализации.(вводятся переменные для обозначения x1- Pj,j=1…n). F(x1,x2,…xn)=f(Xj)=CiXi+C2+X2+…+CnXn. Ce при ограничениях S1:A11,X1+A12,X2+…+AnnXn<=b1 = Сумм (

Si = Sum (aijxj)<=Bi, i=1…n; Xj>=0, J= 1,n

29.02

2)О составление смеси.

Ежедневный рацион состоит из 2х продуктов Р1 и Р2 и должен содержать питательные вещества 3х видов S1,s2,s3. Питательная ценность одного , необходимое количество питательного вещества в в рационе и стоимость единицы приведена в таблице

Питательные вещества(г)\Продукты(кг)	Содержание питательных веществ в продуктах (г/кг)		Потребность
	Р1 (X1)	Р2 (x2)
S1	3	1	9
S2	1	2	8
S3	1	6	12
Цена реализации за ед	4	6

Требуется составить дневной рацион необходимой питательности, имеющий минимальную стоимость.

Обе переменные управляемые.

Технлогоические – цена, содержание, потребность….

F(x1,x2)=4*x1++6*x2 -> min

3*x1+X2>=9

X1+2*x2>=8

X2+6X2>=12

X1,x2>=0

Задача ЛП. Допускает обобщение на произвольное кол-во ингредиентов и питательных веществ

Известно содержание пит вещества iого вида в единице продукта j-ого вида. - Aij

Cj-цена.

Bi- необходимое кол-во вещества.

3)Задача о раскрое

Сущность задачи об оптимальном раскрое состоит в разработке таких техонлологически допустимых планов, при которых получается необходимый комплект заготовок, а отходы сводятся к минимуму. Простейщая задача о раскрое формулируется сл образом:

Имеется N штук исходного материала. Длина каждой из которых = L. Требуется заготовки m видов. Длины которых = Li, i…m. известны потребности в заготовках каждого вида – Bi. I=1…m. Построение технологической карты раскроя показывает, что можно выделить N вариантов техонлогоий. Раскрой заданного материала длины L на заготовки Li. Обозначим через Aij кол-во заготовок i-ого вида, получаемого при раскрое единицы материала по j-ому способу. Cj- это отходы при раскрое единицы исходного материала по j-ому способу. Требуется составить такой план раскроя, при котором будет получена необходимое количество деталей каждого вида и общие отходы будут минимальными.

Обозначим через Xj кол-во единиц исходного материала, раскраиваемых по j=ой технологии. Тогда цель минимизировать расходы представится функцией:

Целевая функция подлежит минимизации/максимизации

Ограничения могут быть неравенствами >= или <=, мб и =