Chapter 6
Vectors
=
=
=
=
sЙЕнзклW= мr I= îr |
→ |
I= ï I= ê I= ^_ I=£= |
sЙЕнзк=дЙеЦнЬW= мr I= îr I=£=
rебн=оЙЕнзклW= б I= а I= в =
kмдд=оЙЕнзкW= M = `ззкЗбе~нЙл=зС=оЙЕнзк= м W= uN I vN I wN = `ззкЗбе~нЙл=зС=оЙЕнзк= о W= uO I vO I wO = pÅ~ä~êëW= λI µ=
aбкЙЕнбзе=ЕзлбеЙлW= Езл αI= ÅçëβI= Åçë γ= ^еЦдЙ=ДЙнпЙЙе=нпз=оЙЕнзклW= θ=
=
=
6.1 Vector Coordinates
=
550.rебн=sЙЕнзкл=
á=(NI MI M)I=
à=(MI NI M)I=
â =(MI MI N)I=
|
r |
= |
|
r |
|
= |
r |
=NK= |
|
|
|
|
|
á |
|
à |
|
â |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
r |
|
r |
|
r |
|
551. rê = |
|
→ |
|
|
+ (óN |
+ (òN |
||||||
^_ =(ñ N − ñ M )á |
− ó M ) à |
−ò M )â = |
||||||||||
=
118
CHAPTER 6. VECTORS
|
======= |
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|||
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Figure 73. |
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
552. |
|
r |
|
= |
|
→ |
|
= |
|
O |
O |
O |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
^_ |
|
|
|||||||||
|
ê |
|
|
(ñN −ñ M ) |
+(óN −ó M ) |
+(òN −òM ) |
= |
||||||
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
553. |
|
|
|
→ |
r |
→ |
|
r |
|
|
|||
fÑ= ^_ = ê I=íÜÉå= _^ |
= −ê K= |
|
|
||||||||||
=
=
=
Figure 74.
=
554.u = rê Åçë α I=
v= rê ÅçëβI=
w= rê Åçë γ K=
119
CHAPTER 6. VECTORS
=====
=
=
Figure 75.
=
555. fÑ= ê(uI vI w)= êN (uN I vN I wN )I=íÜÉå==
u = uN I= v = vN I= w = wN K==
==
=
6.2 Vector Addition
=
556. ï =ì + î =
=
==
=
=
Figure 76.
120
CHAPTER 6. VECTORS
==
=
=
Figure 77.
557.= ïr =ìrN +ìrO +ìrP +K+ìå =
=
==
=
=
Figure 78.
=
558.`зггмн~нбоЙ=i~п= м + î = î +ì =
=
559.^ллзЕб~нбоЙ=i~п=
(ì + î )+ ï =ì + (î + ï )=
=
560. ì + î =(uN +uO I vN + vO I wN +wO )=
=
=
=
=
=
=
121
CHAPTER 6. VECTORS
6.3 Vector Subtraction
=
561. ï =ì − î =áÑ= îr + ï =ì K=
=
=
=
Figure 79.
=
==
=
=
Figure 80.
=
562. ì − î =ì +(− î )=
=
563.ìr −ìr =M =(MI MI M)=
=
564.M =M =
=
565. ì − î =(uN −uO I vN −vO I wN −wO )I==
=
=
=
6.4Scaling Vectors
566.= ïr =λìr =
122
CHAPTER 6. VECTORS
=
=
Figure 81.
=
567.ïr = λ ìr =
568.=λì =(λuI λvI λw)=
569.=λìr =ìrλ =
570.=(λ+µ)ì =λì +µì =
571.=λ(µì)=µ(λì)=(λµ)ì =
572.=λ(ì + î )=λì +λî =
=
=
=
6.5Scalar Product
=
573.pЕ~д~к=mкзЗмЕн=зС=sЙЕнзкл= м =~еЗ о = мr îr = ìr îr Åçë θI==
пЬЙкЙ= θ=бл=нЬЙ=~еЦдЙ=ДЙнпЙЙе=оЙЕнзкл= м =~еЗ о K====
=
123
CHAPTER 6. VECTORS
=
=
=
Figure 82.
=
574.pЕ~д~к=mкзЗмЕн=бе=`ззкЗбе~нЙ=cзкг=
fÑ= ì =(uN I vN I wN )I= î =(uO I vO I wO )I=íÜÉå==
ì î = uNuO + vNvO +wNwO K=
=
575.^еЦдЙ=_ЙнпЙЙе=qпз=sЙЕнзкл==
fÑ= ì =(uN I vN I wN )I= î =(uO I vO I wO )I=íÜÉå==
Åçë θ= |
uNuO + vNvO +wNwO |
K= |
|||
|
|
|
|
||
u O + v O +w O |
u |
O + v O +w O |
|||
N |
N |
N |
O |
O |
O |
=
576.`зггмн~нбоЙ=mкзйЙкну=
ìr îr = îr ìr=
=
577.^ллзЕб~нбоЙ=mкзйЙкну=
(λì) (µî )=λµì î =
=
578.aблнкбДмнбоЙ=mкзйЙкну= м (î + ï )=ì î +ì ï =
=
579. ìr îr =M =áÑ= ìr I îr =~кЙ=зкнЬзЦзе~д=E θ= πO FK=
=
580. ìr îr >M =áÑ= M <θ< πO K=
=
124
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
CHAPTER 6. VECTORS |
||
581. |
ìr îr < M =áÑ= π <θ< πK= |
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
O |
|
|
||||||
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
582. |
ìr îr ≤ |
|
|
|
ìr |
|
|
|
|
|
|
|
îr |
|
|
= |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
583. |
ìr îr = |
|
ìr |
|
|
|
îr |
|
=áÑ= ì I î =~êÉ=é~ê~ääÉä=E θ=M FK= |
||||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
584. |
fÑ= ì =(uN I vN I wN )I=íÜÉå== |
|
|||||||||||||||||||||
|
ìr ìr =ìrO = |
|
ìr |
|
O = u O |
+ v O +w O K= |
|||||||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
N |
N |
N |
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
585. |
á á = à à = â â =N= |
|
|
||||||||||||||||||||
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
586. |
á à = à â = â á =M = |
|
|||||||||||||||||||||
=
=
=
6.6 Vector Product
=
587.sЙЕнзк=mкзЗмЕн=зС=sЙЕнзкл= м =~еЗ о = мr×îr = ïr I=пЬЙкЙ==
|
|
r |
= |
r |
|
|
r |
ëáå θI=пЬЙкЙ= M ≤θ≤ |
π |
|
• |
|
ï |
ì |
|
î |
O |
X= |
|||
|
|
r |
r |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
||||
• |
ï |
ì = |
|
r |
~åÇ= ï î X= |
|
|
|||
• |
=sЙЕнзкл= м I= о I= п =Сзкг=~=кбЦЬн-Ь~еЗЙЗ=лЕкЙпK= |
|||||||||
=
125
CHAPTER 6. VECTORS
=======
=
=
Figure 83.
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
|
r |
|
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
r r r |
|
|
á |
|
|
à |
|
â |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
588. |
|
|
uN |
|
vN |
|
wN |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
ï =ì ×î = |
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
uO |
|
vO |
|
wO |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
589. |
r r r |
|
|
vN |
|
wN |
|
I − |
|
uN |
wN |
|
I |
|
uN |
vN |
|
|
= |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
ï =ì ×î |
= |
|
v |
|
w |
|
|
|
u |
|
w |
|
|
|
u |
|
v |
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
O |
|
|
O |
|
|
|
|
|
O |
|
O |
|
|
|
|
O |
O |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
590. |
|
ìr×îr |
|
|
|
|
ìr |
|
|
|
îr |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
p = |
|
|
= |
|
|
|
|
|
ëáå θ=EcáÖKUPF= |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
=
591.^еЦдЙ=_ЙнпЙЙе=qпз=sЙЕнзкл=EcбЦKUPF=
ëáå θ= rr×îrr =
îìì
=
592.kзеЕзггмн~нбоЙ=mкзйЙкну= м ×î = −(î ×ì)==
=
593.^ллзЕб~нбоЙ=mкзйЙкну=
(λì)×(µî )=λµì ×î =
=
=
126
CHAPTER 6. VECTORS
594.aблнкбДмнбоЙ=mкзйЙкну=
ì ×(î + ï )=ì ×î +ì ×ï =
|
= |
r |
595. |
r r |
|
ì ×î =M =áÑ= ì =~åÇ= î =~êÉ=é~ê~ääÉä=E θ=M FK= |
||
|
= |
|
596. |
á × á = à × à = â ×â =M = |
|
|
= |
|
597. |
á × à = â I= à ×â = á I= â × á = à = |
|
=
=
=
6.7 Triple Product
=
598.pЕ~д~к=qкбйдЙ=mкзЗмЕн=
[ìîï]=ì (î ×ï )= î (ï ×ì)= ï (ì ×î )=
599.=[ìîï]=[ïìî]=[îïì]= −[îìï]= −[ïîì]= −[ìïî]=
600.=âì (î ×ï )= â[ìîï]=
=
601.pЕ~д~к=qкбйдЙ=mкзЗмЕн=бе=`ззкЗбе~нЙ=cзкг=
r r r |
uN |
vN |
wN |
|
uO |
vO |
wO |
|
|
ì (î ×ï )= |
I== |
|||
|
uP |
vP |
wP |
|
пЬЙкЙ==
ì =(uN I vN I wN )I= î =(uO I vO I wO )I= ï =(uP I vP I wP )K==
=
602.sздмгЙ=зС=m~к~ддЙдЙйбйЙЗ= s = ìr (îr×ïr )=
=
127
CHAPTER 6. VECTORS
============
=
=
Figure 84.
=
603. sздмгЙ=зС=mук~гбЗ= s = SN ìr (îr×ïr )=
=
=
=
Figure 85.
=
604. fÑ== ì (î ×ï )=M I=нЬЙе=нЬЙ=оЙЕнзкл== м I= о I=~еЗ= п =~кЙ=дбеЙ~кду= ЗЙйЙеЗЙен=I=ëç= ï =λì +µî =Ñçê=ëçãÉ=ëÅ~ä~êë= λ=~åÇ= µK==
=
605. fÑ== ì (î ×ï )≠ M I=нЬЙе=нЬЙ=оЙЕнзкл== м I= о I=~еЗ= п =~кЙ=äáåÉ~êäó=
беЗЙйЙеЗЙенK=
=
128
CHAPTER 6. VECTORS
606.sЙЕнзк=qкбйдЙ=mкзЗмЕн=
ì ×(î ×ï )=(ì ï )î −(ì î )ï ==
=
=
=
=
=
=
=
=
129