§2. Дисконтирование и наращение по сложной учетной ставке.

2.1. Учет по сложной учетной ставке. В практике учетных операций используется сложная учетная ставка.

Определение. Сложной учетной ставкой c периодом начисления T называется ставка, которая в течении времени равному этому периоду применяется не к сумме S (как при учете по простой учетной ставке), а к приведенной сумме A на начало предыдущего периода.

По определению годовой учетной ставки имеем: . Отсюда за время равное одному году приведенная сумма равна: за период времени, равный двум годам получаем: За время равное n годам соответственно имеем:

(2.11)

Дисконт соответственно будет равен:

При n>1 дисконтирование по сложной учетной ставке более выгодно для должника, чем дисконтирование по простой ставке, так как сумма A, полученная им в первом случае будет больше, а при n<1 более выгодна для кредитора.

2.2 Дисконтирование m раз в году. В этом случае применяется номинальная учетная ставка c и дисконтирование в каждом периоде осуществляется по ставке c/m:

(2.12)

где m - количество периодов начисления в году, а n - количество лет.

Под эффективной учетной ставкой понимается сложная годовая ставка d_c, которая эквивалентна дисконтированию m раз в году по номинальной ставке c. Из (2.11) и (2.12) при n=1 имеем:

Отсюда получаем:

(2.13)

2.3. Наращение по сложной учетной ставке. Для начисления процентов можно применять и сложную учетную ставку при этом проценты носят название антисипативных. Из формул (2.11) и (2.12) заменяя A на P получаем:

(2.14)

Эти формулы названы формулами наращения по сложным антисипативным процентам.

2.4 Сравнение интенсивности процессов наращения и дисконтирования по разным ставкам. Для множителей наращения по разным ставкам процентов можно записать следующие соотношения:

Аналогичным образом получаем дисконтный множитель:

§3. Непрерывное наращение и дисконтирование.

3.1. Непрерывное наращение. Сила роста. До сих пор мы рассматривали дискретные проценты, т.е. проценты, которые начисляются в определенные моменты времени. Более общими являются непрерывные проценты при которых начисление происходит постоянно в течении определенного срока. Непрерывное наращение (непрерывные проценты) применяются при долгосрочных инвестициях. Это связано с тем, что многие экономические явления по своей природе непрерывны, поэтому их аналитическое описание с помощью непрерывных процентов более адекватно, чем на основе дискретных. При непрерывном наращении применяют непрерывную процентную ставку - силу роста (fors of interest), а сами проценты называют непрерывными. Сила роста характеризует относительный прирост наращенной суммы за бесконечно малый промежуток времени. Сила роста может быть постоянной и переменной во времени.

а) постоянная сила роста. Пусть  номинальная ставка с m периодами начисления в году. Когда m интервал времени между начислениями процентов будет стремится к нулю ( ), т.е. в пределе будем иметь непрерывные процессы начисления процентов и наращения. Согласно формуле (2.4 (см. пред. лекцию)) для наращенной суммы можем записать:

.

Поэтому при m наращенная сумма будет равна пределу:

или

(2.15)

Ставка процентов  в этой формуле является постоянной ставкой непрерывных процентов и называется постоянной силой роста, а сама формула называется формулой наращения при постоянной силе роста. Величина _ⁿ называется множителем наращения по постоянной ставке непрерывных процентов.

На основании приведенных соотношений следует, что постоянная сила роста  представляет собой номинальную ставку у которой количество периодов начисления m.

б) переменная сила роста. Если сила роста зависит от времени, т.е. имеем переменную силу роста (t), то наращенная сумма определяется по формуле:

(2.16)

Пусть сила роста изменяется как геометрическая прогрессия: , где ₀ - начальное значение процентной ставки (значение силы роста при t=0), q - знаменатель геометрической прогрессии (годовой коэффициент роста). В соответствии с (2.16) имеем:

.

Из (2.16) следует, что при дискретном изменении силы роста в течении срока всего n множитель наращения можно определить по следующей формуле:

где _k постоянная сила роста в течении срока n_k, m-количество сроков n_k, n -суммарная продолжительность сроков n_k.

Иногда вместо переменной силы роста (t) удобно использовать среднюю силу роста , т.е. постоянную величину на протяжении всего периода начисления:

(2.17)

3.2. Дисконтирование на основе непрерывных процентных ставок. Современная величина A при дисконтировании по непрерывной процентной ставке определяется на основании формулы наращения (2.15). Имеем:

(2.18)

По аналогии с выводом формулы наращения по непрерывной процентной ставке, формулу дисконтирования по непрерывной учетной ставке получим, если будем использовать номинальную учетную ставку  с количеством периодов дисконтирования m. В результате будем иметь следующее соотношение:

(2.19)

т.е. такую же формулу, что и для дисконтирования по непрерывной процентной ставке.