- •Передмова
- •Точки і кола, дуги і кути на сфері.
- •Сферичний кут, його вимірювання та властивості. Суміжні та вертикальні кути.
- •Елементарні задачі на побудову на сфері.
- •Іv. Питання для самоконтролю:
- •V. Література
- •І. План лекції
- •Іі. Основні типи задач.
- •Ііі. Короткі теоретичні відомості.
- •1. Поняття сферичного трикутника, його елементи. Вимірювання сторін і кутів сферичного трикутника
- •Суміжні та симетричні трикутники, їх властивості
- •6. Побудова трикутника на сфері:
- •7. Довести нерівності:
- •Іv. Питання для самоконтролю.
- •Теорема синусів.
- •Співвідношення між елементами прямокутного сферичного трикутника
- •Іv. Питання для самоконтролю.
- •Література
- •І. План лекції.
- •Іі. Основні типи задач.
- •Ііі. Короткі теоретичні відомості.
- •1. Послідовність операцій при розв’язанні сферичних трикутників:
- •2. Розв’язання сферичних трикутників
- •Шість основних типів задач розв'язання прямокутних сферичних трикутників
- •4. Приклади розв’язання задач
- •Іv. Питання для самоконтролю.
- •Література
- •І. План лекції.
- •Ііі. Короткі теоретичні відомості
- •1. Визначення місця знаходження точки на земній кулі.
- •Обчислення градусної міри сторін і кута одержаного сферичного трикутника та відстані між двома пунктами
- •3. Розв’язування задач.
- •IV. Питання для самоконтролю
- •1. Небесна сфера та її елементи
- •2. А) визначення положення світила на небесній сфері у системі горизонту.
- •2 Б). Визначення положення небесних світил у екваторіальній системі координат
- •Задачі з астрономії та їх розв’язування
- •IV. Питання для самоконтролю.
- •V. Література
- •2. Зразки завдань для закріплення лекційного матеріалу:
- •4. Зразки завдань для підготовки до виконання ргр
І. План лекції
1. Поняття сферичного трикутника, його елементи. Вимірювання сторін і кутів сферичного трикутника.
2. Суміжні та симетричні трикутники, їх властивості.
3. Умови існування сферичного трикутника.
4. Взаємно полярні трикутники та їх властивості.
5. Площа і сума кутів сферичного трикутника.
6. Побудова трикутника на сфері: а) за трьома сторонами; б) за трьома кутами.
7. Доведення властивостей кутів сферичного трикутника.
Іі. Основні типи задач.
Розпізнавання на сфері суміжних та симетричних трикутників.
Встановлення:
а) існування сферичного трикутника із зазначеними мірами його
сторін (кутів);
б) межі зміни третьої сторони, якщо відомі міри двох інших;
Доведення властивостей кутів (сторін) сферичного трикутника.
Обчислення площі сферичного трикутника та двокутника.
Знаходження сферичного надлишку.
Доведення нерівностей, що характеризують умови існування сферичного трикутника.
Побудова трикутника на сфері: а) за трьома сторонами; б) за трьома кутами.
Ііі. Короткі теоретичні відомості.
1. Поняття сферичного трикутника, його елементи. Вимірювання сторін і кутів сферичного трикутника
Сферичним трикутником називають частину поверхні сфери, обмежену дугами трьох великих кіл. Точки перетину великих кіл називають вершинами сферичного трикутника і позначають великими літерами (рис.5).
Під кутами сферичного трикутника розуміють лінійні кути двогранних кутів, утворених площинами великих кіл, які в перетині зі сферою утворюють сферичний трикутник. Дуги, заключені між двома вершинами, називають сторонами сферичного трикутника. Вершини позначають великими, а сторони однойменними малими літерами.
Мірою сторони є центральний кут, утворений радіусами сфери, проведеними в вершини трикутника.
Суміжні та симетричні трикутники, їх властивості
Два трикутники, що мають спільну сторону, називають суміжними. Наприклад: трикутники АВС та АВС1; АВС та А1ВС; АВС та АВ1С. Сторони суміжних трикутників, що не є спільними з сторонами трикутника АВС, є доповненнями до 1800 його сторін, розміщених на одному великому колі. Наприклад: трикутники АВС і АВ1С - суміжні.
ﮞ ВС + ﮞ В1С = 1800, ﮞ АВ + ﮞ АВ1= 1800 (рис.5)
Рис 5
Два кінці одного і того ж діаметра сфери називають відповідними точками.
Два трикутники, вершини яких є відповідними точками, називають відповідними або симетричними трикутниками. Наприклад, трикутники
АВС і А1В1С1, А1ВС1 і АВ1С, та ін.
Симетричні трикутники мають рівні площі (є рівновеликими).
Відповідні сторони і кути симетричних трикутників (наприклад АВС та А1В1С1) рівні між собою.
Таблиця 2
3. Умови існування сферичного трикутника (1) , , , , , , (2) (3) (4) (5) (6) (7) Якщо сума двох кутів сферичного трикутника більша, дорівнює або менша , то і сума протилежних їм сторін відповідно більша, дорівнює або менша . (8) Якщо різниця двох сторін сферичного трикутника більша, дорівнює або менша нуля, то і різниця протилежних їм кутів відповідно більша, дорівнює або менша нуля. Умови існування прямокутного сферичного трикутника (1)-(8) (9) Число сторін, більших , має бути парним, а менших - непарним. (10) Катет і протилежний йому кут завжди лежать в одній чверті круга. |
4 .. Взаємно полярні трикутники та їх властивості. Два сферичні трикутники, що лежать на одній і тій же сфері, називаються полярними, якщо вершини одного з них є полюсами сторін другого Співвідношення між сторонами і кутами взаємно полярних сферичних трикутників і (рис.6) (5) |
Рис.6 |
Периметр полярного сферичного трикутника А1В1С1 можна подати у вигляді 2р1 = а1 + в1 + с1 = 1800 – А + 1800 – В + 1800 – С = 3600 – (А+В+С–1800) = =3600 – ε = 2π – ε.
5. Площа і сума кутів сферичного трикутника.
Площу сферичного трикутника обчислюють за формулами
(1) , де R-радіус сфери;
(2) , де - сферичний надлишок. (3)
Сума кутів сферичного трикутника . (4).