Министерство образования Российской Федерации
КУБАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ
Кафедра систем управления и технологических комплексов
ТЕОРИЯ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ
МОДЕЛИРОВАНИЕ ИМПУЛЬСНОЙ САР
Методические указания к выполнению
лабораторной работы
для студентов специальности
220301 - Автоматизация технологических
процессов и производств
всех форм обучения
Краснодар
Издательство КубГТУ
2009
Составитель: канд. техн. наук, доц.А.В.Нестеров
УДК 62-50
МОДЕЛИРОВАНИЕ ИМПУЛЬСНОЙ САР: Метод. указания к выполнению лабораторной работы по дисциплине “Теория автоматического управления” для студентов специальности 220301 – Автоматизация технологических процессов и производств всех форм обучения/Кубан. гос. технол. ун-т; сост. А.В.Нестеров. Краснодар, 2009.-19 c.
Представлена методика моделирования импульсной САР с АИ – модуляцией на основе z – преобразования.
Библиогр.:10 назв., рис.9.
Печатается по решению Редакционно-издательского совета Кубанского государственного технологического университета
Рецензенты: канд. техн. наук, доц. Ю.П.Добробаба
(Кубан.гос.технол. ун-т, кафедра Электроснабжения);
канд. техн. наук, доц. А.Г.Мурлин
(Кубан.гос.технол. ун-т, кафедра ВТ и АСУ).
1 ЦЕЛЬ РАБОТЫ
Изучение особенностей математического моделирования импульсных САР с помощью z-преобразования.
Изучение техники моделирования импульсной САР с помощью пакета расширения Symbolic Math Toolbox системы MATLAB.
Изучение техники моделирования импульсной САР с помощью пакета расширения Control System Toolbox системы MAT LAB.
Изучение техники моделирования импульсной САР с помощью пакета расширения Simulink системы MATLAB.
Математическое моделирование импульсной САР в системе MATLAB.
Общие сведения
Типичным примером импульсной САР является система регулирования с квантованием сигнала ошибки регулирования ε(t) [12, пример 13.2] Структурная схема такой САР изображена на рисунке 1.
АР
ОР
G(s) E(s) E*(s) Y(s)
T=1
Рисунок 1 – Исходная структурная схема импульсной САР
Математическое моделирование импульсной САР сводится в первую очередь к разработке математической модели (ММ) импульсного элемента (АР). Наиболее просто эту задачу решают выбором названной ММ из известного ряда типовых моделей, см. отчет о лабораторной работе "Моделирование типовых элементов дискретных САР". В рассматриваемом примере импульсный элемент осуществляет амплитудно-импульсную модуляцию сигнала ошибки ε(t). В этом случае в качестве его ММ целесообразно принять АИ-модулятор, что позволяет преобразовать исходную структурную схему (рисунок 1). В результате схема САР приобретает вид, показанный на рисунке 2.
НЧ
ИЭ
G(s) E(s) Y(s)
Рисунок 2 – Преобразованная структурная схема импульсной САР
Полученная модель импульсной САР является непрерывно-дискретной, т.к. содержит идеальный импульсный элемент (ИЭ) и непрерывные элементы с передаточными функциями Wф(s), W1(s) и W2(s). Непрерывные элементы образуют непрерывную линейную часть (НЧ) модели САР. В связи с этим схему САР можно упростить (рисунок 3).
ИЭ НЧ
G(s) E(s) Y(s)
Рисунок 3 – Эквивалентная структурная схема импульсной САР
Поскольку непрерывные элементы соединены последовательно, эквивалентная ПФ непрерывной части равна
В рассматриваемом примере импульсной САР в качестве формирователя импульсов принят фиксатор нулевого порядка (zero-order hold, ZOH) с ПФ
где Т-период квантования по времени. В данном случае Т=1с. ПФ остальных непрерывных элементов
Следовательно, эквивалентная ПФ непрерывной части
где
Эквивалентная модель импульсной САР, схема которой изображена на рисунке 3, также является непрерывно-дискретной. Это свойство затрудняет моделирование. Поэтому названную модель преобразуют в дискретную, схема которой изображена на рисунке 4.
G(z) E(z) Y(z)
Рисунок 4 – Дискретная модель импульсной САР
Осуществление такой операции основано на z-преобразовании ПФ непрерывной части Wнч(s) согласно выражению
В случае фиксатора нулевого порядка
или при подстановке
Оператор ZT соответствует трем последовательным операциям:
обратному преобразованию Лапласа
2) квантованию по времени функции , что приводит к решетчатой функции y[nT];
прямому z-преобразованию .
Если названные операции осуществляют вручную с использованием таблиц операционных соответствий, то отпадает необходимость выполнения второй операции. Таблицы связывают непосредственно изображения Лапласа W(s) и z-изображения W(z). Необходимо только привести оператор W(s) к типовому виду.
Таблица 1 – Оригиналы и изображения типовых функций
Оригинал f(t) |
Изображение Лапласа F(s)=L[f(t)] |
Оригинал f[nT] |
z-изображение F(z)=Z{f[nT]} |
1(t) |
|
1[nT] |
|
δ(t) |
1 |
δ[nT] |
1 |
t |
|
nT |
|
e-αt |
|
e-αnT |
|
δ(t-kT) |
e-kTs |
δ(nT-kT) |
z-k |
В частности, в рассматриваемом примере z-преобразование передаточной функции НЧ
(1)
Оператор W(s)/s, разлагают на сумму элементарных дробей
каждая из которых имеет "табличный" вид. Затем в таблице 1 находят соответствующие им z-изображения
Учитывая, что в рассматриваемом примере период квантования Т=1, получают
(2)
Так как оператор z = eTs, то первый иъ двух сомножителей в произведении (1)
Таким образом, z - передаточная функция разомкнутой САР
(3)
или в нормированном виде
(4)
Основную z - ПФ системы управления получают по формуле замыкания
(5)
Z – изображение реакции импульсной САР на управляющее воздействие g(t) определяют по формуле
Y(z)=Ф(z)G(z).
Так как входное воздействие является типовым ступенчатым g(t)=1(t), то его z-изображение согласно таблице 1
В этом случае z-изображение переходной функции
(6)
а также в нормированном виде
Для того, чтобы изобразить переходной процесс во времени, необходимо определить соответствующую решетчатую функцию y[nT] обратным z-преобразованием
(7)
Теоретически для этого необходимо вычислить интеграл
Практически обходятся без названного интегрирования следующим образом.
Так же, как при осуществлении прямого z-преобразования, при обратном z-преобразовании необходимо предварительно функцию Y(z) привести к "табличному" виду. Эту задачу решают одним из следующих методов [3,6,11,14]:
с помощью вычетов по теореме Коши;
разложением функции Y(z) на простые дроби;
разложением функции Y(z) в степенной ряд.
В первом случае с помощью теоремы вычетов Коши значение интеграла рассчитывают как сумму всех вычетов внутри контура Г
по всем полюсам
zk
Во втором случае изображение Y(z) представляют в виде суммы простых дробей
(8)
где rm и pm – коэффициенты разложения при m-ом полюсе. Согласно свойству линейности обратного z-преобразования оригинал определяют по формуле
Согласно таблице 1 окончательно искомую решетчатую функцию получают
Последний из трех названных методов, реализуемый так называемым "длинным делением" [ 3, стр.767; 12, стр.492. ], приводит к следующему ряду (ряду Лорана)
Согласно таблице 1 z-изображению z-k соответствует оригинал функции δ(t-kt). Поэтому искомый оригинал переходной функции имеет вид
График этой функции (переходную характеристику) строят по точкам для следующих моментов времени t=0,T,2T,…,20T.
Каждый из рассмотренных методов требует сравнительно непростых вычислений. Считают, что третий метод в этом отношении наиболее простой. В отличие от первых двух методов, нет необходимости в расчете полюсов ПФ zk. С точки зрения автоматизации вычислений предпочтительнее выглядит второй метод, т.к. современные математические системы (MATLAB, MathCAD и другие) содержат функции для разложения изображений Y(z) на элементарные дроби. Более того, ресурсы пакетов расширения Control System Toolbox и Simulink системы MATLAB позволяют построить динамические характеристики дискретных САУ совершенно без вычислений со стороны пользователя.