3. Распределение 60 банков по величине процентной ставки X (%) и размеру выданных кредитов y (млн. Руб.) представлено в таблице.
У X |
2-5 |
5-8 |
8-11 |
11-14 |
14-17 |
Итого |
11-13 |
|
|
|
1 |
6 |
7 |
13-15 |
|
|
4 |
7 |
3 |
14 |
15-17 |
|
1 |
11 |
5 |
1 |
18 |
17-19 |
4 |
5 |
2 |
|
|
11 |
19-21 |
8 |
2 |
|
|
|
10 |
Итого |
12 |
8 |
17 |
13 |
10 |
60 |
Необходимо:
1. Вычислить групповые средние и , и построить эмпирические линии регрессии.
2. Предполагая, что между переменными X и Yсуществует линейная корреляционная зависимость:
а) найти уравнения прямых регрессии, построить их графики на одном чертеже с эмпирическими линиями регрессии и дать экономическую интерпретацию полученных уравнений;
б) вычислить коэффициент корреляции; на уровне значимости
α = 0,05 оценить его значимость и сделать вывод о тесноте и направлении связи между переменными Х и Y;
в) используя соответствующее уравнение регрессии, определить средний размер выданного банком кредита, процентная ставка которого равна 16%.
Решение:
Вычислим групповые средние и , построим эмпирические линии регрессии.
Для каждого значения , т.е. для каждой строки корреляционной таблицы вычислим групповые средние
, где - частоты пар ( ) и .
Вычисленные групповые средние поместим в последнем столбце корреляционной таблицы и изобразим графически в виде ломаной, называемой эмпирической линией регрессии Y по X.
Аналогично для каждого значения по формуле
, где - частоты пар ( ) и .
Вычисленные групповые средние поместим в последней строке корреляционной таблицы и изобразим графически в виде ломаной, называемой эмпирической линией регрессии X по Y.
y x |
|
2-5 |
5-8 |
8-11 |
11-14 |
14-17 |
Итого: |
Группо вая сред няя, |
|
|
|
Сере дины интер валов |
3,5 |
6,5 |
9,5 |
12,5 |
15,5 |
||||
11-13 |
12 |
|
|
|
1 |
6 |
7 |
18,36 |
84 |
1008 |
13-15 |
14 |
|
|
4 |
7 |
3 |
14 |
22,04 |
196 |
2744 |
15-17 |
16 |
|
1 |
11 |
5 |
1 |
18 |
25,50 |
288 |
4608 |
17-19 |
18 |
4 |
5 |
2 |
|
|
11 |
30,50 |
198 |
3564 |
19-21 |
20 |
8 |
2 |
|
|
|
10 |
32,72 |
200 |
4000 |
Итого: |
12 |
8 |
17 |
13 |
10 |
60 |
|
966 |
15924 |
|
Групповая средняя,
|
50,14 |
59,67 |
72,11 |
85,57 |
96,11 |
|
|
|
|
|
|
42 |
52 |
162 |
163 |
155 |
573 |
|
|
|
|
|
147 |
338 |
1534,3 |
2031,3 |
2402,5 |
6453 |
|
|
|
Где, , .
Эмпирическая линия регрессии Y по X:
Эмпирическая линия регрессии X по Y:
2) Предполагая, что между переменными Х и У существует линейная корреляционная зависимость: а) найти уравнения прямых регрессии, построить их графики на одном чертеже с эмпирическими линиями регрессии и дать экономическую интерпретацию полученных уравнений;
Вычислим необходимые суммы:
;
;
;
;
;
Итак, уравнение регрессии Y по X: .
;
.
Итак, уравнение регрессии X по Y: .
;
.
Из первого уравнения регрессии Y по X следует, что при увеличении процентной ставки на 1 % размер выданных кредитов уменьшается на 1,422 млн. руб.
Из второго уравнения регрессии X по Y следует, что при увеличении выданных кредитов на 1 млн. руб. уменьшается процентная ставка на 0,539%.
Построим графики уравнений регрессии на одном чертеже с эмпирическими линиями регрессии:
б) вычислить коэффициент корреляции, на уровне = 0,05 оценить его значимость и сделать вывод о тесноте и направлении связи между переменными Х и У.
Вычислим коэффициент корреляции по формуле:
.
Связь между переменными Х и У обратная, т.к. и достаточно тесная ( достаточно близок к 1).
На уровне значимости = 0,05 оценить значимость коэффициента корреляции.
Нулевая гипотеза ; конкурирующая гипотеза .
Наблюдаемое значение критерия:
.
По уровню значимости = 0,05 и числу степеней свободы находим по таблице .
Поскольку - нулевую гипотезу отвергаем. Другими словами, выборочный коэффициент корреляции значимо отличается от нуля.
в) используя соответствующее уравнение регрессии, определить средний размер выданного банком кредита, процентная ставка которого равна 16%.
Подставим в уравнение регрессии ;
млн. руб. – средний размер выданного банком кредита.