3) Проверим свойство математического ожидания . Вычислим математическое ожидание случайной величины .
|
|
|
… |
|
|
|
|
… |
|
В нашем случае .
Аналогично, ;
.
Значит , то есть выполнено равенство .
|
|
|
|
8 |
24 |
48 |
|
0,15 |
0,12 |
0,03 |
0,07 |
0,28 |
0,35 |
Ответ: ; ;
.
Задача № 5
Плотность вероятности случайной величины имеет вид:
Найти: а) функцию распределения ;
б) математическое ожидание и дисперсию ;
в) вероятность .
Построить графики функций и .
С помощью неравенства Маркова оценить вероятности того, что случайная величина примет значения: а) больше 6; б) не больше 5/3.
Найти те же вероятности с помощью функции распределения и объяснить различие результатов.
Решение.
Найдём функцию распределения случайной величины . Для этого воспользуемся формулой , связывающей функцию распределения вероятностей с плотностью распределения вероятностей .
Для и .
Для
.
Для
.
Следовательно, функция распределения случайной величины имеет вид
Математическое ожидание
.
Дисперсия .
.
Значит .
Определим вероятность того, что случайная величина примет значение из интервала с помощью функции распределения вероятностей :
.
Построим графики функций и .
График функции плотности распределения вероятностей случайной величины :
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-4 |
|
-3 |
|
-2 |
|
-1 |
|
О |
|
1 |
|
2 |
|
3 |
|
4 |
|
5 |
|
|
Х |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
График функции распределения вероятностей случайной величины :
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-4 |
|
-3 |
|
-2 |
|
-1 |
|
О |
|
1 |
|
2 |
|
3 |
|
4 |
|
5 |
|
Х |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Воспользуемся неравенством Маркова: если случайная величина принимает только неотрицательные значения и имеет математическое ожидание, то для любого положительного числа верно неравенство . Так как события и противоположные, можно получить другую форму неравенства Маркова: .
а) Вероятность того, что случайная величина примет значение больше 6:
.
б) Вероятность того, что случайная величина примет значение не больше 5/3 .
Найдём те же вероятности с помощью функции распределения вероятностей :
;
.
Различие результатов обусловлено тем, что в первом случае мы получили оценку вероятности с помощью неравенства Маркова, а во втором случае вычислили точную вероятность с помощью функции распределения вероятностей.
Ответ: ; ; ;
; ; ; .
© ООО
«ВЗФЭИ-АРХИВ.РФ», 2010 Страница