Задача № 5
Плотность вероятности случайной величины имеет вид:
Найти: а) параметр ;
б) математическое ожидание и дисперсию случайной величины ;
в) функцию распределения и построить её график.
Оценить с помощью неравенства Чебышева вероятность того, что случайная величина принимает значения на промежутке . Вычислить эту вероятность с помощью функции распределения. Объяснить различие результатов.
Решение.
Сначала определим параметр . Для этого воспользуемся основным свойством плотности распределения вероятностей : .
.
, откуда ; .
Значит плотность распределения вероятностей случайной величины задаётся функцией
Математическое ожидание
.
Дисперсия .
.
Значит .
Найдём функцию распределения случайной величины . Для этого воспользуемся формулой , связывающей функцию распределения вероятностей с плотностью распределения вероятностей .
Для и .
Для
.
Для
.
Следовательно, функция распределения случайной величины имеет вид
Схематично построим график функции :
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-2 |
|
-1 |
|
О |
|
1 |
|
2 |
|
3 |
|
4 |
|
5 |
|
6 |
|
7 |
|
Х |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|