Задача 3.

Данные о населении города в отчетном году (тыс. чел.):

На 1 января - 402,

1 февраля —403,

1 марта-403,

1 апреля - 405,

1 мая - 404,

1 июня - 404,

на 1 июля - 405,

1 августа-405,

1 сентября - 406,

1 октября — 408,

1 ноября - 407,

1 декабря - 406,

на 1 января следующего года - 406.

Определите вид ряда динамики. Рассчитайте среднегодовую численность населения города на основании данных на начало и конец года, на начало каждого квартала и каждого месяца. Сделайте обоснование выбора средней величины.

Решение:

Выбор средней в рядах динамики зависит от его вида.

Ряд динамики - это статистические показатели, отображающие развитие изучаемого явления во времени. Различают несколько видов рядов динамики. В зависимости от выражения уровней:

1. ряды абсолютных величин;

2. ряды относительных величин;

3. ряды средних величин.

В зависимости от того, как выражают уровни ряда состояние явления на определенный момент времени или его величину за определенные интервалы времени:

1. моментные ряды динамик;

2. интервальные ряды динамики.

В зависимости от расстояния между уровнями:

1. ряды динамики с равностоящими уровнями во времени;

2. ряды динамики с не равностоящими уровнями во времени.

Выбор формулы среднего уровня ряда динамики зависит от вида ряда динамики. Выделяют три вида среднего уровня ряда динамики:

1. в интервальных рядах динамики средний уровень ряда динамики определяется по формуле средней арифметической простой: , где

- уровни ряда;

n- число уровней ряда.

2. в моментном ряду динамик с равностоящими уровнями средний уровень динамики определяется по формуле средней хронологической:

, где

- уровни ряда;

n- число уровней ряда.

3. в моментном ряду динамик с не равностоящими уровнями средний уровень динамики определяется по формуле средней арифметической:

, где

- уровни ряда динамики;

- продолжительность периода между показателями времени.

По условию задачи данный ряд динамики является моментным рядом динамики с равностоящими моментами (датами) времени.

При наличии данных о численности населения на несколько равностоящих дат среднегодовая численность населения может быть определена по формуле средней хронологической для моментных рядов с равностоящими уровнями.

Рассчитаем среднегодовую численность населения города на основании данных на начало и конец года:

Рассчитаем среднегодовую численность населения города на основании данных на начало каждого квартала:

Рассчитаем среднегодовую численность населения города на основании данных на начало каждого месяца:

Вывод:

Определив вид ряда динамики, мы рассчитали среднегодовую численность населения города на основании данных с помощью средней хронологической для моментных рядов с равностоящими моментами времени. Таким образом, среднегодовая численность населения города на основании данных на начало и конец года составила 404 тыс. чел.; на начало каждого квартала - 405,5 тыс. чел.; на начало каждого месяца - 405 тыс. чел.

Задача 4

Данные об объеме розничного товарооборота на душу населения в Новосибирской области:

Год	Продажа на душу населения, руб.
1	2974
2	4496
3	6902
4	7952
5	11031

Определите:

1. вид динамического рада;

2. средний уровень динамического ряда;

3. абсолютные приросты, темпы роста и прироста (цепные и базисные), темпы наращивания и абсолютное содержание 1% прироста;

4. средний абсолютный прирост, средний темп роста и прироста уровней динамического ряда.

Результаты расчетов представьте в таблице. Изобразите динамический ряд на графике. Сделайте выводы.

Решение:

Ряд динамики - это статистические показатели, отображающие развитие изучаемого явления во времени. Различают несколько видов рядов динамики. В зависимости от выражения уровней:

1. ряды абсолютных величин;

2. ряды относительных величин;

3. ряды средних величин.

В зависимости от того, как выражают уровни ряда состояние явления на определенный момент времени или его величину за определенные интервалы времени:

1. моментные ряды динамик;

2. интервальные ряды динамики.

В зависимости от расстояния между уровнями:

1. ряды динамики с равностоящими уровнями во времени;

2. ряды динамики с не равностоящими уровнями во времени.

В каждом ряду динамика есть два основных элемента:

1. показатель времени (t) – в качестве t в рядах динамики выступают либо определенные даты (моменты времени), либо определенные периоды (годы, кварталы, месяцы);

2. уровни развития, изучаемого явления (y) – уровни рядов динамики отображают количественную оценку развития явления во времени.

Уровни ряда динамики могут изменяться в самых разных направлениях: они могут возрастать или убывать, повторять ранее достигнутый уровень.

Интенсивность их изменения бывает различной. Уровни могут изменяться быстрее или медленнее.

Анализ интенсивности изменения во времени осуществляется с помощью показателей, которые получаются вследствие сравнения уровней.

К таким показателям относятся: абсолютный прирост, темп роста, темп прироста, абсолютное значение одного процента прироста. Для обобщающей характеристики динамики исследуемого явления определяют средние показатели: средний уровень ряда и средние показатели изменения уровня ряда.

В рядах динамики при расчете показатель различают базисную и цепную системы:

1. базисная система – система, при которой изучаемый уровень всегда сравнивается с базисным. За базу сравнения всегда берут уровень первого периода времени.

2. Цепная система – система, при которой изучаемый уровень сравнивается с уровнем, который ему предшествует.

Для того чтобы рассчитать показатели анализа динамики на постоянной базе, необходимо каждый уровень ряда сравнить с одним и тем же базисным уровнем. В качестве базисного выбирается только начальный уровень в ряду динамики или уровень, с которого начинается какой-то новый этап развития явления. Показатели, которые при этом исчисляются, называются базисными.

Для расчета показателей анализа динамики на переменной базе необходимо каждый последующий уровень ряда сравнить с предыдущим. Вычисленные таким образом показатели динамики называются цепными.

По условию задачи данный вид ряда динамики является интервальным рядом динамики.

Рассчитаем абсолютные и относительные показатели ряда динамики.

Абсолютный прирост (∆у) - характеризует увеличение или уменьшение уровня ряда за определенный промежуток времени в абсолютных величинах. Он вычисляется по формулам:

1. базисный абсолютный прирост (∆y_бi) — определяется как разность между сравниваемым уровнем (у_i) и уровнем, принятым за постоянную базу сравнения (Уо):

, где

y_i – сравниваемый уровень;

y₀ – уровень, взятый за базу.

Определим базисный абсолютный прирост по товарообороту на душу населения:

∆уб2= 4496-2974 = 1522 руб.;

∆yбз = 6902-2974 = 3928 руб.;

∆y_б4 = 7952-2974 = 4978 руб.;

∆yбз = 11031-2974 =8057 руб.

2. цепной абсолютный прирост (∆y_цi)- определяется как разность между сравниваемым уровнем (уi) и уровнем, который ему предшествует (уi-1):

, где

– уровень сравнения;

- уровень предыдущего периода.

Определим цепной абсолютный прирост по товарообороту на душу населения:

∆y_ц2= 4496-2974 = 1522 руб.;

∆y_ц3 = 6902-4496 = 2406 руб.;

∆y_ц4 = 7952-6902 = 1050 руб.;

∆y_ц5 = 11031-7952 = 3079 руб.

Цепные и базисные абсолютные приросты связаны между собой: сумма последовательных цепных абсолютных приростов (Σ ∆y_цi,) равна базисному, то есть общему приросту за весь промежуток времени ( ∆y_бi):

Σ ∆y_цi = ∆y_бi

1522 руб. + 2406 руб. + 1050 руб. + 3079 руб. = 8057 руб.

8057 руб. = 8057 руб.

Следовательно, взаимосвязь выполняется.

Таким образом, абсолютный прирост показывает, насколько уровень текущего периода выше (или ниже) базисного, и тем самым измеряет абсолютную скорость роста (или снижение уровня).

Следующим основным показателем динамики является темп роста.

Темп роста (Тр) — это показатель интенсивности изменения уровня ряда, который может быть выражен в процентах или как коэффициент. Темп роста представляет собой отношение последующего уровня к предыдущему или какому-либо другому уровню, принятому за базу сравнения. Он показывает, во сколько раз увеличился (снизился) уровень по сравнению с предыдущим или базисным уровнем.

Темп роста вычисляется по формулам:

1. базисный темп роста (Тр_бi) - определяется делением сравниваемого уровня (у_i) на уровень, принятый за постоянную базу сравнения у₀:

, где

- уровень сравнения;

- уровень, взятый за базу сравнения.

Определим базисный темп роста по товарообороту на душу населения:

2. цепной темп роста (Тр_цi ) - определяется делением сравниваемого уровня (у_i) на уровень, который ему предшествует (у_i-1):

, где

- уровни ряда для i-го периода.

Определим цепной темп роста по товарообороту на душу населения:

Между цепными и базисными темпами роста имеется взаимосвязь: произведение последующих цепных темпов роста равно базисному темпу роста за последний период:

Тр_ц1 * Тр_ц2 * ...* Тр_цi = Тр_бп

1,512 * 1,535 * 1,152 * 1,387 = 3,708

3,708 =3,708

Следовательно, взаимосвязь выполняется.

Если Тр > 1 (или 100 %), то это показывает на увеличение изучаемого уровня по сравнению с базисным или предыдущим уровнем.

Если Тр < 1 (или 100 %), то это показывает на уменьшение изучаемого уровня по сравнению с базисным или предыдущим уровнем.

Если Тр = 1 (или 100 %), то это показывает, что уровень изучаемого периода не изменился по сравнению с базисным или предыдущим уровнем. В нашем случае Тр > 100 %. Это говорит о том, что товарооборот на душу населения с каждым годом увеличивается по сравнению с предыдущими периодами.

Рассчитаем темп прироста товарооборота на душу населения.

Темп прироста (Тп) - характеризует абсолютный прирост в относительных

величинах.

Исчисленный в процентах темп прироста показывает на сколько процентов изменился уровень по сравнению с уровнем, принятым за базу сравнения или с предыдущим уровнем. Различают:

1. базисный темп прироста (Тп_б;) - определяется делением сравниваемого базисного абсолютного прироста (∆у_бi) на уровень, принятый за постоянную базу сравнения (у₀):

, где

- базисный абсолютный прирост;

- уровень, взятый за базу сравнения.

Рассчитаем базисный темп прироста по товарообороту на душу населения:

2. цепной темп прироста (Тп_цi) - определяется делением сравниваемого цепного абсолютного прироста (∆у_цi) на уровень, который ему предшествует (у_i-1):

, где

- цепной абсолютный прирост;

₁ - уровни предыдущего периода.

Рассчитаем цепной темп прироста по товарообороту на душу населения:

Темп наращивания (Тн_i) - определяется делением цепных абсолютных приростов (∆у_цi ) на уровень, принятый за постоянную базу сравнения (у₀):

, где

- цепной абсолютный прирост;

- уровень, взятый за базу сравнения.

Рассчитаем темп наращивания динамического ряда:

Темп наращивания показывает на сколько процентов увеличивался товарооборот в последующих годах по сравнению с годом, принятым за постоянную базу сравнения.

Чтобы знать, что скрывается за каждым процентом прироста, рассчитывается абсолютное значение 1% прироста как отношение цепного абсолютного прироста (∆у_цi) к цепному темпу прироста за этот же период времени (Тп_цi):

, где

- цепной абсолютный прирост;

- цепной темп прироста.

Рассчитаем АС 1% прироста за каждый год:

2 год:

3 год:

4 год:

5 год:

Таким образом, одному проценту прироста соответствует во 2 год 29, рублей, в 3 год – 44,9 руб.; в 4 год – 69,1 руб.; в 5 год – 79,6 руб. товарооборота.

Все рассчитанные данные сводим в таблицу:

Динамика товарооборота на душу населения в Новосибирской области за 5 лет:

Год	Товарооборот на душу населения, руб.	Абсолютные приросты, руб.		Темпы роста, %		Темпы прироста, %		Темп наращивания, %	Абсолютное значение 1% прироста, руб.
		Базисные	Цепные	Базисные	Цепные	Базисные	Цепные
1	2974	-	-	-	-	-	-	-	-
2	4496	1522	1522	151,2	151,2	51,2	51,2	51,2	29,7
3	6902	3928	2406	232,1,	153,5	132,1	53,5	80,9	44,9
4	7952	4978	1050	267,4	115,2	167,4	15,2	35,3	69,1
5	11031	8057	3079	370,9	138,7	270,9	38,7	103,5	79,6

Для обобщения данных по ряду динамики рассчитывают следующие средние показатели: средний уровень ряда, средний абсолютный прирост, средний темп роста и прироста.

Вычислим средний уровень ряда.

Средний уровень ряда () характеризует обобщенную величину абсолютных уровней. В интервальных рядах динамики он рассчитывается по формуле средней арифметической простой:

, где

- уровни ряда для i-го периода;

n – число уровней в ряду динамики.

Вычислим средний уровень ряда динамики для нашего примера:

Таким образом, в среднем за 5 лет товарооборот на душу населения в Новосибирской области составил 6671 руб.

Рассчитаем средний абсолютный прирост.

Средний абсолютный прирост ( ) представляет собой среднюю из абсолютных приростов за равные промежутки времени одного периода. Существует три способа расчета данного показателя:

1. когда сумма цепных абсолютных приростов делиться на их число.

, где

- сумма цепных абсолютных приростов;

n - число уровней ряда динамики.

2. второй способ определяется как разность между конечным уровнем и базисным уровнем, который делиться на n-1.

, где

у_n - последний уровень ряда динамики;

у₀ — уровень, взятый за базу сравнения;

n - число уровней ряда динамики.

3. третий способ основан на взаимосвязи между цепными и базисными абсолютными приростами.

, где

∆у_бn - базисный абсолютный прирост последнего уровня ряда динамики;

n - число уровней ряда динамики.

Таким образом, в среднем ежегодно товарооборот возрастал на 2014,3 руб.

Рассчитаем средний темп роста.

Средний темп (коэффициент) роста (Тр), который представляет собой изменение уровней ряда динамики и показывает во сколько раз в среднем изменяется уровень ряда динамики. Его можно рассчитать несколькими способами:

1. средний темп роста можно определить как корень из произведения индивидуальных цепных темпов роста в степени «n».

, где

- цепные темпы роста, взятые как коэффициенты;

n – число цепных темпов роста.

2. Учитывая взаимосвязь цепных и базисных темпов роста, средний темп роста можно рассчитать:

, где

у_n - последний уровень ряда динамики;

у₀ - уровень, взятый за базу сравнения;

n - число уровней ряда динамики.

3. Третий способ расчета среднего темпа роста основан на взаимосвязи между цепными и базисными темпами роста

, где

Тр_бп- базисный темп роста в последнем ряду динамики ;

n — число уровней ряда динамики.

Таким образом, средний темп роста равен 1,387 или 138,7 %. Это означает, что в среднем товарооборот возрастал ежегодно в 1,387 раза по сравнению с годом, принятым за базу сравнения.

Рассчитаем среднегодовой темп прироста.

Среднегодовой темп прироста (Тпр) характеризует среднюю относительную скорость повышения (снижения) уровня ряда. Он вычисляется на основе средних темпов роста, вычитанием из последних 100 %.

Определим среднегодовой темп прироста товарооборота:

Если средний темп прироста вычисляется в виде коэффициента, то из значений средних темпов роста вычитается единица.

Определим среднегодовой темп прироста товарооборота:

Таким образом, среднегодовой темп прироста равен 0,378 или 38,7 % и это означает, что в среднем товарооборот возрастал ежегодно на 38,7 % по сравнению с первым годом.

Изобразим динамику товарооборота на душу населения в Новосибирской области за 5 лет графически.

Динамика товарооборота на душу населения в Новосибирской области за 5 лет.

Вывод:

Как видно из расчетов данных о товарообороте на душу населения в Новосибирской области, товарооборот увеличивался в каждый год в сравнении с первым годом и в сравнении с каждым предыдущим годом.

Так в сравнении с первым годом во втором году товарооборот увеличился на 1522 рублей или на 51,2 %; в третий год - на 3928 руб. или на 132,1 %; в четвертый год - на 4978 руб. или на 167,4 %, а в пятый год - на 8057 руб. или на 270,9 %.

В сравнении с предыдущим годом изменения составили: во втором году в сравнении с первым годом товарооборот увеличился на 1522 рубля или на 51,2%; в третий год в сравнении со вторым годом товарооборот увеличился на 2406 руб. или на 53,5 %; в четвертый год - на 1050 руб. или на 15,2%, а в пятый год - на 3079 руб. или на 38,7 %.

Темпы наращивания товарооборота на душу населения составили: во второй год – 51,2 %; в третий год – 80,9 %; в четвертый 35,3% и пятый год по 103,5 %.

Одному проценту прироста в каждый год соответствовало: во втрой год – 29,72 руб.; в третий год — 44,9 руб.; в четвертый год — 69,1 руб., а в пятый год – 79,6 руб. товарооборота.

В среднем за 5 лет товарооборот на душу населения в Новосибирской области возрастало на 6671 руб. Кроме того, в среднем товарооборот возрастал ежегодно на 2014,3 руб. или 38,7%