- •1.1. Элементарные сведения о перестановках
- •1.2. Определители
- •1.2.1. Определитель n-ого порядка
- •1.2.3. Основные свойства определителей.
- •1.2.4. Умножение определителей.
- •1.2.5. Дифференцирование определителя.
- •1.3.1. Основные определения
- •1.3.2. Операции над матрицами
- •Тема 2. Элементарная теория погрешностей
- •2.1. Абсолютная и относительная погрешности
- •2.2. Основные источники погрешностей
- •2.3. Десятичная запись приближенных чисел. Значащая цифра. Число верных знаков
- •2.4. Округление чисел
- •2.5. Связь относительной погрешности приближенного числа с количеством верных знаков этого числа
- •2.6. Погрешность суммы
- •Очевидно, что
- •2.7. Погрешность разности
- •2.18. Понятие о погрешностях машинной арифметики
1.3.2. Операции над матрицами
1.3.2.1. Равенство матриц. Две матрицы и называются равными (что обозначается А=В), если их размеры совпадают и соответствующие их элементы равны, т. е. при всех i и j
= .
Из определения равенства очевидно, что если A=B то В = А. Если же A = B и В = С, то А=С.
1.3.2.2. Сложение матриц. Суммой двух матриц и одинаковых размеров называется матрица (что обозначается С = А+В) тех же размеров, элементы которой определяются равенствами
= + .
Например,
.
Из определения операции сложения вытекают следующие свойства:
;
.
1.3.2.3. Умножение матрицы на число. Произведением матрицы на число а называется матрица (что обозначается или ), элементы которой определяются равенствами
.
Таким образом,
.
Из этого определения вытекают очевидные следствия:
;
;
.
где и — два произвольных числа, а A и B — две матрицы одного размера.
Из свойств сложения матриц и умножения матрицы на число следует, что:
а) сумма матрицы A и нулевой матрицы тех же размеров равна матрице А, т. е.
;
б) для матрицы A существует, единственная матрица -А = (-1)А такая, что А + (- A) = 0;
в) существует однозначная операция, обратная сложению (которая называется вычитанием), т. е. для любых матриц А и В одинаковых размеров, существует единственная матрица С тех же размеров такая, что
.
Матрица С обозначается
.
и называется разностью матриц А и В. Причем , где
.
1.3.2.4. Умножение матриц. Умножение матрицы на матрицу определяется только при условии, что число столбцов матрицы A равно числу строк матрицы B.
Если A имеет размеры (т x p), а B — размеры (р x n), то произведением матрицы А на матрицу В называется матрица (что обозначается C = AB) размеров (т x п), элементы которой сij определяются равенствами
(i=1,2…m; j=1, 2…n).
Таким образом, элемент матрицы С = AB, расположенный в i-й строке и j-м столбце ее, равен сумме произведений элементов i-и строки матрицы А на соответствующие элементы j-го столбца матрицы В.
Если окажется, что АВ = ВА, то матрицы А и В называются перестановочными, в противном случае (если ) они называются неперестановочными.
Отметим основные свойства произведения матриц (считая, конечно, что все написанные произведения имеют смысл):
а) A0 = 0A = 0;
б) АЕ = ЕА = А;
в) (А+В)С = АС+ ВС;
г) A(В+С) = AB+AС;
д) (АВ)С = А(ВС);
е) если А и В — квадратные матрицы одного порядка, то det(AB) = detA detB.
1.3.2.5. Транспонированная матрица. Транспонированием матрицы называется замена строк этой матрицы ее столбцами с сохранением их номеров. Матрица, полученная таким образом из матрицы А, называется транспонированной по отношению к матрице А и обозначается А'. Согласно определению, если , то
, где
1.3.2.6. Обратная матрица. Если А — квадратная матрица, то матрица В такая, что
АВ = ВА = Е
называется обратной относительно А и обозначается. A-1. Таким образом по определению AA-1 = A-1A = E.
Для того чтобы матрица А имела обратную матрицу, необходимо и достаточно, чтобы она была невырожденной (т. е. ).
Чтобы найти обратную матрицу надо построить вспомогательную матрицу, составленную из алгебраических дополнений элементов aij матрицы A, транспонировать ее и умножить на число .
1.3.2.7. Степени квадратной матрицы. Всякую квадратную матрицу можно умножить саму на себя, т. е. найти матрицу АА
Эта матрица называется квадратом матрацы А и обозначается A2. Аналогично A2А называется кубом матрицы А и обозначается A3. Наконец, An-1 А называется n-й степенью матрицы А и обозначается An
Нулевой степенью матрицы A называется единичная матрица Е, т. е. А° = Е. Целая отрицательная степень матрицы A (что обозначается А-n, п>0 определяется соотношением
;
отсюда следует
,
где A-1 —матрица обратная для матрицы A.
Степени матрицы обладают следующими очевидными свойствами:
а) ;
б)