2.1 Формирование производящей матрицы
Для формирования разрешенных кодовых слов используют специальные алгоритмы, позволяющие сформировать производящую матрицу G, которая является порождающей разрешенные кодовые слова.
Она формируется в виде двух подматриц:
1. Единичная, линейная подматрица состоит из информационных символов, в диагонали которой “1”, все остальные разряды - “0”.
Эта подматрица является квадратной с числом столбцов или строк, соответствующим числу информационных разрядов кодового слова.
2. Дополнительная подматрица формируется из числа проверочных символов,
количество разрядов которых определяется заданным кодовым расстоянием.
Разряды проверочных символов дополнительной подматрицы определяются следующими условиями:
- число единиц в каждой строке производящей матрицы должно быть не менее заданного кодового расстояния;
- все кодовые комбинации проверочной подматрицы не должны повторяться.
В результате, для формирования производящей матрицы к каждой строке единичной подматрицы добавляется такая комбинация проверочных символов, при которой в каждой строке производящей матрицы формируется число единиц, не менее заданного кодового расстояния d.
Таким образом получается производящая матрица, все строки которой представляют собой разрешенные кодовые комбинации.
Все остальные РКК формируются путем сложения по модулю «2» всевозможных сочетаний строк производящей матрицы.
Нулевая комбинация и комбинация, полностью составленная из единичных разрядов, относится к разрешенным кодовым комбинациям.
В соответствии с заданием необходимо сформировать алгоритмы реализаций линейного избыточного кода, разрешенные кодовые комбинации и разработать кодирующее и декодирующее устройства, реализующие данный алгоритм.
Реализуемый код должен быть избыточным, равномерным, с заданным кодовым расстоянием.
Для формирования РКК в соответствии с изложенным выше, необходимо построить производящую матрицу линейного кода с заданными параметрами и по ней определить все разрешенные кодовые комбинации.
Формирование разрешенных кодовых комбинаций
Сформировать разрешенные кодовые комбинации для линейного избыточного кода с параметрами:
Число информационных символов k=5,
Минимальное кодовое расстояние dmin=3.
Решение.
Число информационных символов k=5 с одной стороны определяет размерность единичной подматрицы производящей, а с другой стороны определяет число возможных РКК.
Для рассматриваемого задания dmin=3. Минимальное и достаточное количество проверочных символов r=4 (b1,b2,b3,b4). Это минимальная разрядность проверочных символов, поскольку при 5 разрядах единичной подматрицы и 4 разрядах в проверочной подматрице число кодовых комбинаций, содержащих по 2 единицы равно 5. Этого числа строк как раз хватает для формирования производящей матрицы в соответствии выше приведенными условиями.
Если ограничится тремя проверочными символами, то они позволяют сформировать всего четыре комбинации в подматрице проверочных символов, чего недостаточно для дополнения ими линейной части подматрицы (чтобы сформировать квадратную производящую матрицу).
Таким образом, производящая подматрица для формирования РКК имеет вид:
Как видно, общая длина избыточного кода равна 9 разрядам (5+4), а производящая матрица имеет размерность и записывается как G(9,5), что соответствует пяти разрядам информационных символов и общему числу разрядов 9. То есть проверочных разрядов в кодовой комбинации будет r=4.
Общее число кодовых комбинаций, которые можно сформировать этим 9 – разрядным кодом:
М0=2n =2(k+r)=2(5+4)=29=512.
Среди них разрешенных будет: Мр=2k =25=32.
Всевозможные РКК формируются следующим образом:
1. Все строки производящей матрицы представляют собой разрешенные кодовые комбинации.
2. Все другие разрешенные кодовые комбинации образуются на основании производящей матрицы G путем суммирования по модулю «2» всевозможного сочетания ее строк.
3. Нулевая комбинация и комбинация, полностью составленная из единичных разрядов, относятся к разрешенным кодовым комбинациям.
Ниже приведен пример формирования 16 разрешенных кодовых комбинаций:
С 1 по 5 – это РКК из производящей матрицы
1. 100000011
2. 010000101
3. 001000110
4. 000101001
5. 000011010
Шестая РКК образуется суммированием по модулю «2» первой и второй строк производящей матрицы G(9,5).
100000011 (первое кодовое слово матрицы)
010000101
(второе кодовое слово матрицы)
6. 110000110 (результат суммирования по модулю «2» первой и второй кодовых слов).
Подобным образом получают и другие разрешенные кодовые комбинации, ниже приведены еще 10 РКК.
7. 011000011 2 3
8. 001101111 3 4
9. 000110011 4 5
10. 100011001 1 5
11. 010011111 2 5
12. 001011100 3 5
13. 100101010 1 4
14. 111000000 1 2 3
15. 110011100 1 2 5
16. 110101111 1 2 4