- •Ряды Фурье. Уравнения математической физики.
- •Задание №1. Разложить функцию в ряд Фурье
- •2. Разложим монотонно возрастающую (вспомним условия Дирихле) функцию на участке в обобщенный ряд Фурье
- •1) Решение исходной задачи как функция двух переменных разлагается в двойной ряд, т.Е. Представляется в виде:
- •2Б) Разложение функции в ряд по аргументу имеет вид:
- •Литература
1) Решение исходной задачи как функция двух переменных разлагается в двойной ряд, т.Е. Представляется в виде:
.
С помощью процедуры ортогонализации Бубнова получим неоднородную систему алгебраических уравнений для определения коэффициентов разложения . Координатные функции удовлетворяют следующим условиям ортогональности:
Подстановка решения в исходное уравнение приводит к соотношению:
Проводим процедуру ортогонализации Бубнова: умножаем правую и левую части соотношения на и интегрируем по заданной области . Получим:
С учетом условий ортогональности используемых координатных функций получим:
Таким образом, решение краевой задачи в виде разложения в двойной тригонометрический ряд записывается в виде:
Величины вычисляются по формулам (4.7),(4.15).
2) Искомую функцию разлагают в ряд только по одному аргументу. Коэффициенты разложения при этом будут уже не числами, а функциями второго аргумента.
2А) Разложение функции в ряд по аргументу имеет вид:
Подстановка в исходное уравнение приводит к соотношению:
Проводим процедуру ортогонализации Бубнова: умножаем правую и левую части соотношения на и интегрируем по аргументу :
С учетом условий ортогональности используемых координатных функций получим:
Получили систему не связанных между собой неоднородных обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами, решение каждого из которых представляется суммой общего решения однородного уравнения и частного решения неоднородного уравнения, вычисляемого методом подбора, т.е.
В записанном соотношении величины являются константами интегрирования и определяются из граничных условий задачи, а величины определяются при подстановке частного решения в рассматриваемое уравнение и приравнивании коэффициентов при одинаковых степенях .
Из граничных условий краевой задачи имеем:
Из этой системы неоднородных алгебраических уравнений следует:
Таким образом, решение исходной краевой задачи примет вид:
2Б) Разложение функции в ряд по аргументу имеет вид:
.
Подстановка в исходное уравнение приводит к соотношению:
Проводим процедуру ортогонализации Бубнова: умножаем правую и левую части соотношения на функцию и интегрируем по аргументу :
С учетом условий ортогональности используемых координатных функций получим:
.
Получили систему не связанных между собой неоднородных обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами, решение каждого из которых представляется суммой общего решения однородного уравнения и частного решения неоднородного уравнения, вычисляемого методом подбора, т.е.
В записанном соотношении величины являются константами интегрирования и определяются из граничных условий задачи, а величины определяются при подстановке частного решения в рассматриваемое уравнение и приравнивании коэффициентов при одинаковых степенях .
Из граничных условий краевой задачи имеем:
Из этой системы неоднородных алгебраических уравнений следует:
Таким образом, решение исходной краевой задачи примет вид: