![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
1.5. Уравнение Слуцкого и выводы из него
Одним из основных в теории выбора потребителя является уравнение, опубликование Е. Е. Слуцким в 1915 г.
Пусть
- решение задачи потребителя, будем
считать, что функции
дифференцируемы по своим аргументам.
Допустим, что цена на
-ый
товар увеличилась, тогда новая точка
спроса
при неизменных остальных ценах и доходе
изменится (окажется на кривой безразличия,
которая расположена ближе к началу
координат. чем
),
т.е. изменится и полезность, причём
.
Изменим доход
таким образом, чтобы значение максимальной
полезности в точке
было равным значению максимальной
полезности в новой точке
,
т.е. чтобы эта точка
принадлежала той же кривой безразличия,
что и
:
.
Рис.
10
Уравнение Слуцкого позволяет связать действие эффекта замены и эффекта дохода с результирующим изменением спроса:
(11)
При выводе уравнения Слуцкого получаются следующие соотношения:
, т.е. при увеличении цены
компенсация дохода имеет положительный характер:
, а при уменьшении цен доход также надо уменьшить.
, т.е. при повышении цены товара, его потребление уменьшается даже при компенсации дохода.
. Это означает, что есть товары ценные в наборе потребителя и малоценные.
Если -ый товар – ценный, то
, т.е. спрос на ценный товар при повышении цены уменьшается.
Однако есть товар который ведёт себя "неправильно": при повышении цены на него увеличивается и спрос на него:
-
это так называемый товар
Гиффена.
Если
,
то
–ый
товар называется товаром
– заменителем
-
го товара.
. Так как
и
найдется какой-то -ый товар, для которого , т.е. потребление -го товара возрастает при повышении цены на -ый товар.
Условие симметричности:
.
Пример
2.6. Для
функции полезности
найдите, насколько изменится спрос на
первый товар при увеличении цены на
второй товар на 1%
при компенсации дохода.
Решение:
Изменение спроса на один товар при
увеличении цены на другой на 1%
при компенсации дохода выражает
коэффициент эластичности
.
Функции спроса (см. пример 2.3, пункт а)): и .
Из
уравнения Слуцкого найдём
.
Подставляя
в это выражение
,
и
,
получим:
=>
искомый коэффициент эластичности:
%,
т.е. при увеличении цены на второй товар
на 1%
при компенсации дохода спрос на первый
товар увеличится на 0,5%
(следовательно, речь идёт о
товарах-заменителях).
■
Уравнение Слуцкого можно записать иначе – используя понятие коэффициента эластичности спроса на товар. Предположим, что цена на -й товар увеличивается, тогда:
.
Левая
часть представляет собой изменение
спроса на
-й
товар при увеличении цены на него
и неизменных ценах на остальные товары
из набора
при прежнем доходе потребителя
.
Первое слагаемое правой части – это
изменение спроса на
-й
товар при увеличении цены на него
,
неизменных остальных ценах
и компенсации дохода. Домножим обе части
уравнения на
.
Получим:
Учитывая,
что
– коэффициент эластичности спроса на
-й
товар по цене,
– эластичность спроса на
-й
товар при неизменном реальном доходе;
,
тогда, уравнение Слуцкого в коэффициентах эластичности:
.
(12)