4. Построение эквивалентной дискретной модели

Рассмотрим построение дискретной модели в пространстве состояний. Она имеет вид

(8)

k=1,2,3…. – дискретное время. .

Мы предполагаем, что воздействие u(t) является кусочно-постоянным и неизменным на каждом интервале [t_k,t_k+1].

Проведём вычисления в MATLAB, используя функцию c2d для построения дискретной модели в пространстве состояний.

system=ss(A,B,C,D);

system2=c2d(system,2)

a =

x1 x2 x3 x4

x1 -0.1213 -0.05262 -3.31 0.6463

x2 -0.1219 -0.06033 -3.927 0.5936

x3 0.01263 0.004332 0.2519 -0.0882

x4 0.008548 0.005032 0.3949 0.968

b =

u1 u2

x1 0.5276 0.6463

x2 0.5885 0.5936

x3 0.07124 -0.0882

x4 0.01844 -0.03202

c =

x1 x2 x3 x4

y1 0 0 0 1

d =

u1 u2

y1 0 0

Sampling time: 2

5. Переход к модели «вход-выход» дискретного объекта

Уравнение «вход-выход» для дискретной системы в общем виде может быть задано разностным уравнением

(9)

– выходная переменная, – входная переменная.

H(ξ) определяется выражением , где – оператор сдвига вперед.

Сделаем вычисления в MATLAB, используя функцию tf.

H=tf(syst)

Transfer function from input 1 to output:

0.01844 z^3 + 0.03431 z^2 + 0.003742 z + 5.851e-006

----------------------------------------------------

z^4 - 1.038 z^3 + 0.1084 z^2 - 0.01357 z + 2.54e-007

Transfer function from input 2 to output:

-0.03202 z^3 - 0.02407 z^2 - 0.000407 z - 6.099e-007

----------------------------------------------------

z^4 - 1.038 z^3 + 0.1084 z^2 - 0.01357 z + 2.54e-007

Sampling time: 2

Оператор сдвига ξ во втором случае заменён на z-оператор.

6. Уравнения свёртки и импульсные переходные функции

Пусть линейная система описана моделью в пространстве состояний

Рассмотрим реакцию этой системы на входное воздействие u(t), определяемую формулой Коши, при нулевых начальных условиях. Введём в рассмотрение функцию . В этом случае состояние системы можно выразить в виде свёртки функции

(10)

Рассмотрим функцию

(11)

где - дельта-функция Дирака.

Функция, определяемая по (11), называется импульсной переходной функцией системы (ИПФ).

Рассмотрим реакцию системы на входное воздействие в виде δ-функции:

ИПФ представляет собой реакцию непрерывной системы на входное воздействие в виде δ-функции.

Построим ИПФ для рассматриваемой в работе системы. Матричная ИПФ имеет две компоненты, определяющие реакцию системы на воздействие в виде δ-функции, поступающее раздельно на первый и второй входы.

Построим ИПФ с помощью функции MATLAB:

impulse(system)

grid on

Рис. 2. Импульсные переходные функции непрерывного объекта

Теперь рассмотрим дискретную модель в пространстве состояний:

Аналитическое выражение для её решения имеет вид:

Рассмотрим реакцию этой системы на входное воздействие u_t при нулевых начальных условиях.

(12)

Если ввести функцию дискретного аргумента h_t так, что

(13)

то формула (12) примет вид:

Функция (13) называется импульсной переходной функцией дискретного объекта или системы управления. ИПФ дискретного объекта соответствует его реакции на входное воздействие . – дельта-функция Кронекера, представляющая собой импульс единичной амплитуды

Используем жорданову форму матрица A:

Построим графики ИПФ одновременно для дискретной и непрерывной моделей системы для их более удобного сравнения.

impulse(system,syst)

grid on

Рис. 3. Сравнение ИПФ непрерывной и дискретной систем

Видно, что ИПФ непрерывной и дискретной модели отличаются по амплитуде в 2 раза. Это объясняется тем, что при построении дискретной модели шаг временной дискретности равен 2 с.