![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •§1. Основные понятия
- •§2. Дифференциальные уравнения (ду) с разделяющимися переменными. Однородные уравнения.
- •Однородные ду.
- •§3. Линейные дифференциальные уравнения (лду) первого порядка. Уравнение Бернулли.
- •Уравнение бернулли.
- •§ 4. Ду высших порядков. Уравнения, допускающие понижение порядков.
- •Уравнения, не содержащие функцию и её производные до k-1 порядка включительно. (*)
- •§5. Линейные однородные дифференциальные уравнения высших порядков (лоду).
- •Свойства лоду.
- •§7. Лоду с постоянными коэффициентами
- •Все корни различны и действительны
- •Все корни различны, среди них есть комплексные
- •Имеются кратные корни
- •§10 Система линейных ду с постоянными коэффициентами.
Однородные ду.
Определение. Функция
называется однородной (относительно
своих аргументов), если
- k-ого измерения.
Определение. ДУ первого порядка
называется однородным, если оно в
нормальной форме имеет вид
или если функции
и
в дифференциальной форме записи этого
ДУ являются однородными функциями
одного и того же измерения.
Эти уравнения приводятся в ДУ с разделяющимися переменными.
Пусть
.
Заменим
или
,
тогда
,
подставим:
- уравнение с разделяющимися переменными.
Аналогично решается однородное ДУ записанное в дифференциальной форме.
Пример. Решить уравнение:
Решение: Преобразуем его к нормальной
форме:
Замена:
,
получим:
Общий интеграл
.
§3. Линейные дифференциальные уравнения (лду) первого порядка. Уравнение Бернулли.
Определение. Уравнение вида:
(1)
называется линейным дифференциальным уравнением первого порядка.
Методы решения данных уравнений:
- Первый метод (Бернулли):
Подставляем в (1) =>
Найдем u(x):
Подставим полученное уравнение для u(x) в (*). (*) примет вид:
Таким образом, идея метода Бернулли заключается в сведении задачи к последовательному решению ДУ с разделяющимися переменными.
Пример. Найти общее решение уравнения:
Решение:
- линейное ДУ первого порядка.
Решим методом Бернулли:
1)
2) Подставим в уравнение (*):
Общее решение:
- Второй метод (вариации произвольной постоянной)
Пусть
, тогда:
(1а)
- общее решение однородного уравнения
(1а).
Пусть правая часть
. Пусть в (2)
. Тогда из (2):
Подставим
в (1):
Тогда
.
Замечание: целесообразно при решении линейных ДУ первого порядка использовать схемы метода вариации произвольной постоянной, а не полученную формулу.
Уравнение бернулли.
Определение. Дифференциальное
уравнение вида:
называется уравнением Бернулли.
Уравнение Бернулли сводится к ЛДУ с
помощью замены
.
Пример. Найти общее решение уравнения:
Решение:
Решим однородное уравнение:
Делаем замену
,
получаем:
2) Подставляем в исходное неоднородное
ЛДУ:
- ЛДУ первого порядка.
Решим это уравнение методом вариации произвольной постоянной:
Решим однородное уравнение:
Решим неоднородное уравнение методом
Лагранжа (вариации произвольной
постоянной):
Подставим в неоднородное уравнение:
- общее решение. Прибавим частное решение
.
§ 4. Ду высших порядков. Уравнения, допускающие понижение порядков.
Определение. ДУ n-ого порядка называется дифференциальное уравнение:
(4.1)
Если F непрерывна по всем переменным, то (4.1) можно представить:
(4.2)
Задача Коши:
(4.3) - условие Коши.
ТЕОРЕМА 4.1(существования и
единственности решения задачи Коши
4.2, 4.3) Пусть функция
определена в окрестности
и непрерывны по всем переменным частные
производные первого порядка (по
),
тогда задача Коши имеет и при том
единственное решение.
УРАВНЕНИЯ, ДОПУСКАЮЩИЕ ПОНИЖЕНИЕ ПОРЯДКА.