Решение:

Дано: U = 280 B

R₁ = 12 Ом X_L1 = 20 Ом X_C1 = 4 Ом

R₂ = 0 Ома X_L2 = 0 Ом X_C2 = 10 Ома

R₃ = 6 Ом X_L3 = 12 Ом X_C3 = 4 Ом

I₂

C₂

L₁ C₁

R₁

U₂₃

I₁ C₃

U R₃ L₃

I₃

Определим активные проводимости параллельных ветвей:

g₂ = R₂ / Z₂² , где Z₂ = X_C2 = 10 (Ом)

g₂ = 0 / 100 = 0 (Ом^-1)

g₃ = R₃ / Z₃² , где Z₃² = R₃² + (X_L3 – X_C3)² = 6² + 8² = 100 (Ом²)

g₃ = 6 / 100 = 0,06 (Ом^-1)

Определим активную проводимость параллельного участка:

g₂₃ = g₂ + g₃ = 0 + 0,06 = 0,06 (Ом^-1)

Определим реактивные проводимости параллельных ветвей:

b_2(C) = X_C2 / Z₂² = 10 / 100 = 0,1 (Ом^-1)

b_3(L) = (X_L3 – X_С3) / Z₃² = (12 – 4) / 100 = 0,08 (Ом^-1)

Определим полную реактивную проводимость параллельного участка:

b_23(C) = – b₂ + b₃ = – 0,1 + 0,08 = –0,02 (Ом^-1)

Определим полную проводимость параллельного участка:

y₂₃ = √g₂₃² + b₂₃² = √0,06² + 0,02² = 0,063 (Ом^-1)

Найдем полное сопротивление параллельного участка:

Z₂₃ = 1 / y₂₃ = 1 / 0,063 = 15,81 (Ом)

C₁

Z₂₃

R₁ L₁

Разложим Z₂₃ на активную и реактивную составляющие:

g₂₃ = R₂₃ / Z₂₃² => R₂₃ = g₂₃∙Z₂₃² = 0,06∙15,81² = 14,99 (Ом)

X_{23 (C)} = b_{23 (C)} ∙Z₂₃² = 0,02∙15,81² = 4,99 (Ом)

R₂₃ X_{23 (C)}

R₁ L₁ C₁

Определим эквивалентное сопротивление цепи:

Z_Э = √(R₁ + R₂₃)² + (X_L1 – X_C1 – X_{23 (C)})² = √(12 + 15)² + (20 – 4 – 5)² = 29,15 (Ом)

Определим величину тока в неразветвленной части цепи:

I₁ = U₂₃ / Z₂₃ = 280 / 15,81 = 17,71 (A)

Вычислим токи в параллельных ветвях:

I₂ = U₂₃ / Z₂ = 280 / 10 = 28 (A)

I₃ = U₂₃ / Z₃ = 280 / 10 = 28 (A)

Определим величину напряжения, приложенного к цепи:

U = I₁∙Z_Э = 17,71∙29,15 = 516,3 (B)

Составим уравнение баланса мощностей:

Р_ист = Р_пр Q_ист = Q_пр

Определим активные и реактивные мощности:

P_ист = U∙I₁∙cosφ , где cosφ определяем из треугольника сопротивлений:

Q_ист = U∙I₁∙sinφ cosφ = R_Э / Z_Э = (12 + 15) / 29,15 = 0,926; sinφ = 0,377

P_ист = 516,3 ∙ 17,71 ∙ 0,926 = 8467,7 (Вт)

Q_ист = 516,3 ∙ 17,71 ∙ 0,377 = 3450 (Вт)

P_пр = I₁²R₁ + I₃²R₃ = 17,71² ∙12 + 28² ∙6 = 8467 (Вт)

Q_пр = I₁²(X_L1 – X_C1) – I₂² ∙X_C2 + I₃²(X_L3 – X_C3) = 17,71²∙16 – 28²∙10 + 28²∙8 = 3450,3 (Вт)

Сравним полученные результаты: Р_ист = Р_пр; Q_ист = Q_пр;

Определим коэффициент мощности цепи:

cosφ₀ = P / S , где P = P_акт, S = √P² + Q²

cosφ₀ = 8467 / √(8467² + 3450²) = 0,926

Построим топографическую диаграмму.

Для этого определим активные и реактивные составляющие токов параллельных ветвей и напряжения на всех элементах цепи.

I_2A = I₂ ∙ cosφ₂ cosφ₂ = R₂ / Z₂ = 0 / 10 = 0

I_2P = I₂ ∙ sinφ₂ sinφ₂ = X₂ / Z₂ = 10 / 10 = 1

I_2A = 28∙0 = 0 (A); I_2P = 28 (A)

I_3A = I₃ ∙ cosφ₃ cosφ₃ = R₃ / Z₃ = 6 / 10 = 0,6

I_3P = I₃ ∙ sinφ₃ sinφ₃ = (X_L3 – X_C3) / Z₃ = 8 / 10 = 0,8

I_3A = 28∙0,6 = 16,8 (A); I_3P = 28∙0,8 = 22,4 (A)

U_R1 = I₁R₁ = 17,71∙12 = 212,52 (B) U_R3 = I₃R₃ = 28∙6 = 168 (B)

U_C1 = I₁X_C1 = 17,71∙4 = 70,84 (B) U_C3 = I₃X_C3 = 28∙4 = 112 (B)

U_L1 = I₁X_L1 = 17,71∙20 = 354,2 (B) U_L3 = I₃X_L3 = 28∙12 = 336 (B)

U_C2 = I₂X_C2 = 28∙10 = 280 (B)

Задача 2.4 В схеме заданы параметры цепи и Э.Д.С. источников. Известно также, что Э.Д.С. Е₁ опережает Э.Д.С. Е₂ на угол α. Необходимо:

1) на основании законов Кирхгофа составить в общем виде систему уравнений для расчета токов во всех ветвях цепи, записав ее в двух формах: а) дифференциальной; б) символической.

2) определить комплексы действующих значений токов во всех ветвях, воспользовавшись одним из методов расчета линейных цепей;

3) по результатам, полученным в пункте 2, определить показания ваттметра двумя способами: символическим и классическим

4) построить совмещенную топографическую диаграмму напряжений и токов;

5) построить графики синусоидальных величин, напряжения и тока одной из параллельных ветвей.

Решение:

Дано:

E₁ = 240 B E₂ = 240 B C₃ = 50∙10^-6 Ф f = 500 Гц

R₁ = 12 Ом R₂ = 14 Ом L₃ = 5∙10^-3 Гн α = 45º

C₁ = 21∙10^-6 Ф

Определим реактивные сопротивления элементов цепи:

X_C1 = 1 / (2πfC₁) = 1 / (2∙3,14∙500∙21∙10^-6) = 15,16 (Ом)

X_L3 = 2πfL₃ = 2∙3,14∙500∙8∙10^-3 = 15,7 (Ом)

X_C3 = 1 / (2πfC₃) = 1 / (2∙3,14∙500∙50∙10^-6) = 6,37 (Ом)

Представим реактивные сопротивления в комплексной форме:

-jX_C1 = -j15,16 = 15,16e ^{-j 90} (Ом)

jX_L3 = j15,7 = 15,7e ^{j 90} (Ом)

-jX_C3 = -j6,37 = 6,37e ^{-j 90} (Ом)

Определим полные сопротивления ветвей в комплексной форме:

Z₁ = R₁ – jX_C1 = 12 – j15,16 = 19,33e ^{-j 51,64} (Ом)

Z₂ = R₂ = 14 (Ом)

Z₃ = jX_L3 – jX_C3 = 9,33e ^{j 90} (Ом)

Представим Э.Д.С. в комплексной форме:

Ė₁ = 240e ^{j 45} = 169,7 + j169,7 (B)

Ė₂ = 240 (B)

Рассчитываем токи в параллельных ветвях символическим методом:

U_ab = (Ė₁Y₁ + Ė₂Y₂) / (Y₁ + Y₂ + Y₃)

Определяем проводимости параллельных ветвей:

Y₁ = 1 / Z₁ = 1 / 19,33e ^{-j 51,64} = 0,052e ^{j 51,64} = 0,032 + j0,041 (Ом^-1)

Y₂ = 1 / Z₂ = 1 / 14e ^{j 0} = 0,071 (Ом^-1)

Y₃ = 1 / Z₃ = 1 / 9,33e ^{j 90} = 0,107e ^{–j 90} = -j0,107 (Ом^-1)

Определяем значение напряжения U_ab:

U_ab=(240e ^{j 45}∙0,052e ^{j 51,64} + 240e ^{j 0}∙0,071) / (0,104 – j0,067) = 162,2e ^j70,9 = 53,09 + j153,26 (B)

Определяем токи, произвольно проставив токи в ветвях:

Ė₁ = İ₁∙Z₁ + U_ab;

İ₁=(Ė₁ – U_ab) / Z₁=(169,7 + j169,7 – 53,09 – j153,26 ) / 19,33e ^{-j 51,64} =6,09e ^{j 59,6}=3,07+j5,26 (A)

Ė₂ = İ₂∙Z₂ + U_ab;

İ₂ = (Ė₂ – U_ab) / Z₂ = (240 – 53,09 – j153,26) / 14 = 17,26e ^–j39,4 = 13,35 – j10,95(A)

İ₃∙Z₃ + U_ab = 0;

İ₃ = – U_ab / Z₃ = 162,2e ^{-j 109,1} / 9,33e ^{j 90} = 17,385e ^{j 160,9} = -16,427 + j5,691 (A)

Выполним проверку:

İ₁ + İ₂ + İ₃ = 0;

3,077 + j5,257 + 13,35 – j10,947 – 16,427 + j5,691 = 0

Строим топографическую диаграмму. Для этого определим напряжения на всех элементах расчетной цепи:

U_R1 = İ₁∙R₁ = 6,09 ∙ 12 = 73,08 (B)

U_C1 = İ₁∙X_C1 = 6,09 ∙ 15,16 = 92,3 (B)

U_R2 = İ₂∙R₂ = 17,26 ∙ 14 = 241,64 (B)

U_L3 = İ₃∙X_L3 = 17,385 ∙ 15,708 = 273,1 (B)

U_C3 = İ₃∙X_C3 = 17,385 ∙ 6,366 = 110,67 (B)

Определим показания ваттметра:

а) символический метод:

S = (-U_w)∙(-I₁) = U_w∙I₁, где U_w = E₁ – I₁R₁ = 170,3e ^{j 38,77};

S = 170,3e ^{j 38,77} ∙ 6,09e ^{-j 59,6} = 971 – j372 (Вт)

б) классический метод:

P = U_wI∙cosφ, Q = U_wI∙sinφ

U_w = 170,3e ^{j 38,77} I = I₁ = 6,09e ^{j 59,6}

φ = φ_U – φ_i = 38,77 – 59,6 = –20,83º

P = 170∙6,09∙0,935 = 968 (Вт)

Q = 170∙6,09∙(– 0,356) = –368 (Вт)

Построим графики мгновенных значений синусоидальных величин:

U_w = U_m ∙ sin (ωt + ψ_U) U_m = U_w∙√2 = 170∙√2 = 240 (B) ψ_U = 38,77°

U_w = 240sin(3141ωt + 38,77°)

i₁ = I_1m ∙ sin (ωt + ψ_i) I_1m = I₁∙√2 = 6,09∙√2 = 8,6 (A) ψ_i = 59,6°

i₁ = 8,6sin(3141t + 59,6°)

Проверим баланс мощностей:

Р_ист = Р_пр S₁ = Ė₁∙I₁ = 240e ^{j 45} ∙ 6,09e ^{-j 59,6} = 1462e ^{-j 14,6} = 1414 – j370 (Вт)

Q_ист = Q_пр S₂ = Ė₂∙I₂ = 240∙17,26e ^j39,4 = 4143e ^{j 39,4} = 3204 + j2627 (Вт)

Р_ист = Р_1ист + Р_2ист = 1414 + 3204 = 4614 (Вт)

Q_ист = Q_1ист + Q_2ист = – 370 + 2627 = 2257 (Вт)

Р_пр = I₁²R₁ + I₂²R₂ = 6,09² ∙ 12 + 17,26² ∙ 14 = 4616 (Вт)

Q_пр = –I₁²X_C1 – I₃²X_C3 + I₃²X_L3 = – 6,09²∙15,16 – 17,385²∙6,37 + 17,385²∙15,7 = 2261 (Вт)

Р_ист ≈ Р_пр и Q_ист ≈ Q_пр

Задача 2.5 Два электродвигателя установки переменного тока Д₁ и Д₂ подключены параллельно к сети с напряжением U₂. Вся установка работает с низким коэффициентом мощности cosφ. Измерительные приборы в цепи каждого электродвигателя показывают токи I₁, I₂ и мощности Р₁, Р₂.

ЛЭП, снабжающая установку электроэнергией, имеет активное сопротивление R₀ и индуктивное X₀. Коэффициент мощности установки может быть повышен включению параллельно двигателю батареи конденсаторов.

Необходимо:

а) Рассчитать заданную электрическую цепь и определить (до подключ. конденс.):

1) ток в линии

2) напряжение в начале линии

3) потерю или падение напряжения в линии

4) активную и реактивную мощности и потери мощности в проводах

5) коэффициент мощности установки

6) К.П.Д. линии

б) Рассчитать величину емкости компенсирующей батареи конденсаторов для получения коэффициента мощности cosφ = 0,95 и мощности этой батареи. Выполнить расчет цепи при условии работы батареи конденсаторов и найти величины, указанные в пункте а). Построить векторную диаграмму напряжений и токов в конце линии.

R₀

X₀ U₂

R₀

X₀

Дано:

R₀ = 0,06 Ом I₁ = 80 A P₁ = 20000 Вт U₂ = 380 B

X₀ = 0,08 Ом I₂ = 75 A P₂ = 20000 Вт