3.5 Уравнение Бернулли

Определение. Уравнение Бернулли называется уравнение вида

(1)

где n – любое действительное число, не равное 0 и 1, Р(х) и Q(х) – непрерывные функции.

При n=0 уравнение (1) принимает вид

и становится линейным уравнением

При n=1 уравнение (1) принимает вид

или

и становится уравнение с разделяющимися переменными.

Уравнение Бернулли приводится к линейному следующим преобразованием.

Разделим все члены уравнения (1) на yⁿ

(2)

сделаем замену

подставляя в уравнение (2), предварительно умножив его на (1-n), получим

(3)

Это линейное уравнение относительно функции z. Решив его и подставив вместо , получим решение уравнения (1).

Пример.

разделим на

подстановка

- уравнение линейное

Общее решение

Подставим вместо

или общее решение данного уравнения

Замечание. Можно доказать, что уравнение Бернулли можно решать подстановкой .

Пример.

Решить самостоятельно подстановкой .

3.6. Уравнение в полных дифференциалах.

Определение. Уравнение

(1)

называется уравнением в полных дифференциалах, если и - непрерывные, дифференцируемые функции, для которых выполняется соотношение

, (2)

причем и непрерывны в некоторой области.

При выполнении условия (2) левая часть уравнения (1) представляет полный дифференциал некоторой функции .

Уравнение (1) можно записать в виде

(3)

Общее решение этого уравнения будет

,

где С – произвольная постоянная.

Полный дифференциал некоторой функции выражается формулой

,

т.е. .

Тогда , (4)

Дифференцируя 1^ое соотношение по у, а 2^ое по х получим

, .

Т.к. , то ,

т.е. равенство (2) является необходимым условием для того, чтобы левая часть уравнения (1) была полным дифференциалом некоторой функции . Покажем, что это условие является и достаточным, т.е. при выполнении условия (2) левая часть уравнения (1) есть полный дифференциал некоторой функции .

Из соотношения находим , где - область решения.

При интегрировании по х, у – считали постоянной, поэтому она входит в состав произвольной постоянной. Подберем функцию так, чтобы выполнялось второе условие равенства (4). Продифференцируем последнее равенство по у

Учитывая, что , , можем написать

или , откуда или .

Итак, будет иметь вид

Точка области, в которой существует решение уравнения (1).

Общее решение уравнения (1) запишем так:

Пример.

Условие выполняется

Общее решение

3.7 Интегрирующий множитель

Пусть для уравнения (1)

не выполняется условие , т.е. .

Иногда удается подобрать такую функцию , после умножения на которую всех членов уравнения (1), левая часть уравнения становится полным дифференциалом. Общее решение полученного уравнения совпадает с общим решением первоначального уравнения. Функция называется интегрирующим множителем уравнения (1).

Найдем формулы, по которым можно вычислить интегрирующий множитель. Умножим обе части уравнения (1) на множитель :

Для того, чтобы это уравнение было уравнением в полных дифференциалах, необходимо и достаточно выполнение условия

т.е.

или

Разделим обе части этого равенства на , получим

(2)

Всякая функция , удовлетворяющая уравнению (2), является интегрирующим множителем уравнения (1).

Уравнение (2) является уравнением в частных производных с неизвестной функцией , зависящей от двух переменных х и у.

Задача нахождения из уравнения (2) не из легких. Только в некоторых частных случаях удается найти функцию .

Пусть - интегрирующий множитель, который зависит только от у, тогда .

Из уравнения (2) получаем обыкновенное дифференциальное уравнение , из которого определим , а затем .

Его можно решить, если только выражение зависит только от у.

Аналогично, если - интегрирующий множитель, зависит только от х.

Из уравнения (2) получим уравнение

Решаем его, если выражение зависит только от х.

Пример. Г.Н. Берман № 4061

Выражение не подходит

Выражение подходит

Умножим обе части данного уравнения на

Новое уравнение есть уравнение в полных дифференциалах.

Общее решение данного уравнения