![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •Геометрия Часть I.
- •Коллинеарность и компланарность.
- •Координаты.
- •Прямая и плоскость. Теорема о параметрическом уравнении прямой в пространстве. Теорема об общем уравнении плоскости в пространстве. Нормальный вектор и теорема о расстоянии точки от плоскости.
- •Нормальный вектор и теорема о расстоянии от точки до плоскости.
- •Кривые второго порядка. Канонические ур-ия эллипса, гиперболы и параболы. Каноническое уравнение эллипса.
- •Каноническое уравнение гиперболы.
- •Каноническое уравнение параболы.
- •Часть 2.
- •Деление отрезка.
- •Расстояние между двумя точками.
- •Объем параллелепипеда.
- •Вычисление скалярного, векторного и смешанного произведений по координатам множителей.
- •Основные типы уравнений прямой и плоскости. Угол между двумя прямыми. Расстояние от точки до прямой. Переход от общих уравнений к каноническим. Взаимное расположение прямой и плоскости.
Прямая и плоскость. Теорема о параметрическом уравнении прямой в пространстве. Теорема об общем уравнении плоскости в пространстве. Нормальный вектор и теорема о расстоянии точки от плоскости.
Теорема о параметрическом ур-ии прямой в пространстве.
В
декартовой с-ме координат ур-ие прямой,
проходящей через точку М0(x0,y0,z0)
и имеющей направляющий вектор а={xa,ya,za},
будет:
►Пусть
M(x,y,z)
– произвольная точка пространства, она
лежит на прямой, проходящей через точку
М0(x0,y0,z0),
коллинеарной в-ру а={xa,ya,za}
тогда и только тогда, когда в-ры
и а={xa,ya,za}
коллинеарны, т.е. только тогда, когда
или
.
Отсюда получаем параметрическое ур-ие.◄
Теорема об общем уравнении плоскости в пространстве.
Пусть в пространстве задана аффинная система координат. Уравнение Ax+By+Cz+D=0 (*)
является уравнением плоскости тогда и только тогда, когда A, B, C – постоянные коэффициенты не равные нулю одновременно.
► Необходимость.
Пусть (*) – уравнение некоторой плоскость
.Эту
плоскость можно задать точкой
и направляющим подпространством
.
Тогда имеем:
Пусть
Так
как
,
то
Разкладывая определитель по элементам первой строки, получим
Следовательно,
уравнение плоскости
имеет вид: Ax+By+Cz+D=0,
где
Достаточность.
Пусть (*) – уравнение первой степени.
Для определенности будем считать, что
.
Зададим плоскость
так, чтобы она проходила через точку
и
имела направляющими векторами вектор
и вектор
Заметим, что координаты точки
удовлетворяют уравнению (*), а координаты
векторов
и
удовлетворяют уравнению Ax+By+Cz+D=0.
По предыдущему пункту доказательства
задается уравнением:
Так как уравнение (*) совпадает с уравнением плоскости , то (*) – уравнение плоскости .
Аналогично
доказывается справедливость теоремы,
если
или
.◄
Параметрическое уравнение плоскости:
Выражая
компланарность векторов
через параметры, получим параметрическое
уравнение плоскости.
В
самом деле, из компланарности указанных
векторов и неколлинеарности векторов
и
следует, что
,
где t
и u
– однозначно определяемые числа
(параметры т. М).
Представляя
полученное векторное равенство в
координатах, получим параметрическое
уравнение плоскости
(1)
t, u – действительные числа.
Придавая различные значения для t и u, получим точки, принадлежащего плоскости .Верно и обратное: для любой точки плоскости найдется такая, причем единственная пара действительных чисел t и u, которые удовлетворяют (1).
Нормальный вектор и теорема о расстоянии от точки до плоскости.
Рассмотрим прямоугольную систему координат.
ОПР: нормалью к плоскости называется перпендикулярный вектор, проведенный к плоскости из начала координат.
Пусть
в прямоугольной декартовой системе
координат плоскость
задана уравнением
Если
в этом уравнении имеет место равенство
,
т.е.
,
то уравнение называется нормальным
уравнением плоскости.
Любое
уравнение Ax+By+Cz+D=0
плоскости
можно привести к нормальному виду. Для
этого достаточно обе части этого
уравнения разделить на
-
нормально уравнение прямой плоскости
.
В
самом деле
Т
еорема:
Пусть плоскость
задана
общим уравнением Ax+By+Cz+D=0,
- произвольная точка. Тогда
►Очевидно,
что
,
где
.
Тогда
- с одной стороны.
С другой стороны имеем:
.
Отсюда следует, что:
◄