Теория выдвижения и проверки гипотез.
Теория выдвижения и проверки гипотез связана с вопросами передачи и восприятия информации. Эта теория возникла и развивалась для оценки процессов передачи сигналов на расстоянии (теория статистических решений в радиотехнике). Исследуются возможности применения её для оценки процессов обучения, передачи знаний.
Идея метода заключается в следующем:
Имеется два векторных пространства: пространство априорной и апостериорной информации (первое векторное пространство называют ещё пространством наблюдения или пространством информации, а второе - пространством восприятия или пространством решения)
В детерминированном случае одной точке х в первом пространстве соответствует одна точка х1 во втором.
В случае статистического (вероятностного) восприятия одной точке в первом пространстве соответствует распределение Х1, которое называют решающей функцией.
Что собой может представлять решающая функция удобно пояснить на примере двуальтернативного решения с событиями х1 и х2 и их априорными вероятностями р1 и р2.
События х1 их2 могут представлять собой 2 состояния одной точки Х:
х1 –отсутствие точки
х2 – наличие точки
В пространстве восприятия события х1и х2 соответствуют событиям х1 и х2
Возможны 4 случая:
Р(х1/х1) Р(х1/х2)
Р(х2/х1) Р(х2/х2)
Условные вероятности Р(х1/х1) и Р(х2/х2) соответствуют правильному восприятию.
Р(х1/х1) –отсутствие точки х в пространстве восприятия в случае отсутствия этой точки в пространстве информации.
Р(х2/х2) - обнаружение точки х в пространстве в случае её наличия в пространстве информации.
Условная вероятность Р(х2/х1) характеризует восприятие события х2 при условии, что в пространстве априорной информации произошло событие х1, т.е. обнаружение точки х в случае её отсутствия в пространстве информации. Этот случай принято называть «ложной тревогой».
Условная вероятность Р(х1/х2) соответствует отсутствию точки х в пространстве восприятия в случае наличия её в пространстве информации. В этом случае принято говорить о «пропуске сигнала» (например, самолёт появился, но его не обнаружили)
Для оценки рассмотренных случаев вводится функция потерь W.
В случае правильного восприятия, то есть при Р(х1/х1) и Р(х2/х2):
W(х1/х1)=W(х2/х2)=0;
В случае «ложной тревоги» и «пропуска сигнала»
W(х2/х1)=W(х1/х2)=1;
Пользуясь этими оценками можно ввести понятие «условного» риска:
Для случая х1
r(x1,)= W(х1/х1) Р(х1/х1)+ W(х2/х1) Р(х2/х1)= Р(х2/х1)=
так как W(х1/х1)=0 W(х2/х1)=1
то есть условный риск равен вероятности ложной тревоги.
- условный знак, характеризующий возможность отклонения от правильного решения.
Аналогично, для х2
r(x2,)= W(х2/х2) Р(х2/х2)+ W(х1/х2) Р(х1/х2)= Р(х1/х2)=
Общий риск (имеют место решения и )
R= M(r)=p1* r(x1,)+p2* r(x2,)= p1+p2
Чтобы работа системы была оптимальной полный риск должен быть минимальным.
Рассмотренный случай называется критерий Зигерта-Котельникова или критерий идеального наблюдения (минимизируется общий риск)
В теории статистических решений используются также:
критерий Байерса –критерий минимального риска (выбирается минимальный риск из нескольких максимальных общих рисков)
критерий минимакса- априорные вероятности неизвестны и минимизируется значение максимально возможного риска.
Критерий Неймана-Пирсона – минимизируется при
Критерий Вальда – последовательный анализ – минимизируется число испытаний n, достаточное для принятия определённого решения.
В рассмотренном выше примере пространство априорной информации содержит 2 события и решающая функция включает 4 апостериорных условных вероятности с соответствующими им функциями потерь. В случае большего числа событий распределение (х/х) естественно усложняется. При выборе решающей функции следует руководствоваться возможностью минимизации среднего риска.