- •Основные алгебраические операции над тензорами План
- •Скалярное произведение тензоров одинаковых и различных рангов, свойства скалярного умножения, единичный тензор.
- •Тензор как линейный оператор, транспонированный тензор как сопряжённый оператор.
- •Билинейные и квадратичные формы симметричных тензоров.
- •Линейные операции над тензорами.
- •Скалярное умножение тензоров.
- •Тензор 2-го ранга как линейный оператор в .
- •Билинейные и квадратичные формы тензоров.
- •Свёртки тензоров.
- •Вопросы и упражнения.
Свёртки тензоров.
Рассмотрим двойное скалярное умножение тензоров 2-го ранга, определяемое выражением
.
В результате свёртки получаем скалярную величину. Основное свойство свёртки: .
Действительно, .
Вопросы и упражнения.
Доказать, что результат скалярного умножения тензора 2-го ранга на вектор есть вектор.
Записать скалярное произведение тензоров, относя их к смешанным базисам: .
Доказать, что тензор является линейным оператором в , если линейное преобразование представить в виде .
Доказать справедливость утверждения .
Доказать, что .
Найти положения точек (радиус-векторы) в результате линейного преобразования, задаваемого тензором , если известны начальные положения этих точек .
Доказать, что прямые в результате линейного преобразования остаются прямыми.
Доказать, что параллельные прямые в результате линейного преобразования остаются прямыми.
Для заданного симметричного тензора построить соответствующую квадратичную форму и исследовать её знак.
По заданной в декартовом базисе квадратичной форме найти соответствующий её тензор.
По заданному в декартовом базисе тензору определить:
Компоненты данного тензора в основном, взаимном и смешанном косоугольных базисах, если известны разложения (коэффициенты ) векторов основного базиса по декартову базису ;
Выражения билинейной формы, соответствующей тензору в различных базисах;
Выражения квадратичной формы, соответствующей симметричной составляющей тензора .