- •Случайные события Некоторые сведения из теории множеств
- •Основные формулы комбинаторики
- •Случайные события, их виды
- •Вероятность событий
- •Теоремы умножения и сложения вероятностей Условная вероятность
- •Вероятностные модели с усреднением вероятности
- •Случайные величины
- •Дискретные случайные величины
- •Числовые характеристики дискретных случайных величин
- •Непрерывные случайные величины Функция и плотность распределения непрерывной случайной величины
- •Числовые характеристики непрерывных случайных величин
- •Основные распределения непрерывных случайных величин
- •Математическая статистика
- •Выборочный метод
- •Статистические оценки параметров распределения
Курс лекций “Теория вероятностей и математическая статистика”.
Случайные события Некоторые сведения из теории множеств
- “для любого”, “любой”, - “или”, “хотя бы один”, - “x принадлежит A”
Определение: Множество - неопределяемое понятие, которое может быть интерпретировано как некоторый набор элементов; пустое множество - множество, не содержащее элементов; обозначает, что элемент x принадлежит множеству A.
Определение: множество B называется подмножеством А( ), если ; очевидно, что . Множества А и В равны, если и .
Операции над множествами:
1) Объединение (Объединение множеств A и B – это множество, состоящее из элементов, принадлежащих хотя бы одному из множеств).
2) Пересечение (Пересечение множеств A и B – это множество, состоящее из элементов, принадлежащих обоим множествам).
3) Разность (Разность множеств A и B – это множество, состоящее из элементов, принадлежащих множеству A и не принадлежащих множеству B).
4) Дополнение - если , то (Дополнение множества A до множества W - это множество, состоящее из элементов множества W и не принадлежащих множеству A).
Основные формулы комбинаторики
Комбинаторика - раздел математики, занимающийся подсчетом числа комбинаций элементов конечного множества, составленных при определенных условиях.
Теорема 1 (правило умножения): пусть каждое из k действий можно выполнить соответственно N1, N2, ..., Nk способами, то существует N1N2 ... Nk способов выполнить все эти действия последовательно.
Теорема 2 (правило сложения): пусть каждое из k действий можно выполнить соответственно N1, N2, ..., Nk способами, то существует N1 + N2 +...+ Nk способов выполнить одно из этих действий.
Пример 1: Из пункта A в пункт B ведут 4 дороги. Из пункта B в пункт C ведут 3 дороги. Сколько существует путей из A в C?
Пример 2: Работы участников олимпиады по математике шифруются либо двумя цифрами, либо буквой латинского алфавита. Сколько различных шифров можно составить?
Пример 3: Сколькими способами можно выбрать комиссию из 3 человек (председатель, заместитель секретарь), выбирая ее из 4х супружеских пар, если в комиссию не могут входить члены одной семьи?
Определение: генеральной совокупностью объема n называется произвольное конечное множество ; выборкой из генеральной совокупности объема k называется произвольный набор элементов E: .
Определение: выборка называется упорядоченной, если имеет значение порядок ее элементов, и неупорядоченной в обратном случае. Выборка проводится без повторений, если каждый элемент генеральной совокупности входит в нее не более одного раза, и с повторениями в обратном случае.
Упорядоченные выборки объема k из генеральной совокупности объема n называются размещениями, а неупорядоченные – сочетаниями из n элементов по k.
Подсчет числа выборок объема k из генеральной совокупности объема n:
Выборки |
Упорядоченные (размещения) |
Неупорядоченные (сочетания) |
Без повторений |
|
|
С повторениями |
|
|
Пример 4: В чемпионате по футболу участвуют 12 команд. Сколькими способами могут быть распределены 1,2 и 3 места.
Пример 5:Сколько существует различных способов сдать 6 карт из колоды в 36 карт.
Пример 6: Сколько можно составить различных двоичных чисел, состоящих из трех разрядов?
Пример 7:В магазине продается 5 видов открыток. Сколько существует способов выбрать любые 3.
Определение: различные упорядоченные множества, которые отличаются лишь порядком элементов, называются перестановками этого множества. Количество перестановок определяется по формуле:
Различные упорядоченные множества, состоящие из элементов k различных видов, которые отличаются лишь порядком элементов, называются перестановками этого множества с повторениями. Количество перестановок с повторениями определяется по формуле:
Пример 8. Сколько различных буквенных сочетаний можно получить, переставляя буквы в слове БАРАБАН?