2.6. Прямая и плоскость в пространстве. В пространстве уравнение
(
)
(2.13)
задает плоскость, а прямая определяется как пересечение двух плоскостей:
(2.14)
(уравнения (2.14) называются общими уравнениями прямой в пространстве).
Канонические уравнения прямой в пространстве имеют вид
,
(2.15)
а параметрические –
,
(2.16)
где, как и ранее,
– точка, лежащая на прямой, а
- направляющий вектор прямой.
Пример 2.10. Написать параметрические и общие уравнения прямой, проходящей через точки A(-1;2;4) и B(2;5;3).
Решение. В
качестве точки, лежащей на плоскости,
можно взять любую из заданных; пусть,
для определенности, это будет точка A.
Направляющим вектором прямой является
вектор
,
координаты которого находятся как
разность соответствующих координат
конца и начала:
.
Таким образом,
и в силу (2.15) параметрические уравнения
имеют вид
.
Чтобы составить
общие уравнения, необходимо из одного
из параметрических уравнений выразить
t и подставить полученное
выражение в оставшиеся уравнения.
Например, в данном примере из третьего
уравнения получаем t=4-z,
и поэтому
или окончательно
.
Замечание 1. При
составлении параметрического
уравнения можно было в качестве
направляющего вектора взять
,
а в качестве лежащей на прямой точки –
B.
Замечание 2. При составлении уравнений прямой, проходящей через точки A(xA;yA;zA) и B(xB;yB;zB), можно использовать уравнения вида
.
2.7. Задания для самостоятельного решения.
Упражнение 2.1. Найти длины сторон и координаты точек, лежащих на серединах сторон, для треугольника с вершинами: a) A(2;0), B(4;3), C(3;6); b) A(2;-1), B(4;3), C(-2;1); c) A(-2;4), B(5;-1), C(2;3).
Упражнение 2.2. Написать уравнение прямой, проходящей через заданные точки A и B, выписать ее угловой коэффициент и координаты вектора нормали: а) A(-1;3), B(4;-2); b) A(3;2), B(2;-1); c) A(1;-3), B(-1;5); d) A(1;3), B(4;-3); e) A(2;3), B(2;-2); f) A(4;5), B(-3;5).
Упражнение 2.3.
Найти координаты вершин иравнения и
длины медиан в треугольнике, стороны
которого заданы уравнениями: а)
,
,
;
b)
,
,
.
Упражнение 2.4. Найти координаты точки пересечения медиан в треугольнике с вершинами A(-4;2), B(2;-5), C(5;0).
Упражнение 2.5.
Написать уравнение прямой, проходящей
через заданную точку A и
образующей с положительным направлением
оси OX угол
:
а)
A(2;3),
;
b) A(0;0),
;
c) A(1;3),
;
d) A(5;-6),
;
e) A(4;5),
.
Упражнение 2.6. Определить угол между прямыми:
а)
,
;
b)
,
;
c)
,
.
Упражнение 2.7. Среди данных прямых найти параллельные и перпендикулярные:
a)
,
,
,
b)
,
,
,
с)
,
,
,
d)
,
,
,
Упражнение 2.8. Написать уравнения прямых, проходящих через заданную точку параллельно и перпендикулярно заданной прямой:
а)
A(2;3),
;
b)
A(3;-6),
;
c)
A(-2;0),
.
Упражнение 2.9.
Написать уравнение прямой, проходящей
через заданную точку перпендикулярно
заданной прямой, найти точку пересечения
прямых: а) A(-3;2),
;
b) A(1;-5),
;
c) A(0;-3),
.
Упражнение 2.10.
Написать параметрическое уравнение
прямой, проходящей через указанную
точку параллельно заданному вектору,
привести уравнение к общему виду: а)
A(2;3),
;
b) A(-1;5),
;
c) A(-2;3),
.
Упражнение 2.11.
Привести общие уравнения прямых к
уравнениям в отрезках, построить прямые:
a)
;
b)
;
c)
.
Упражнение 2.12. Составить уравнения прямых, проходящих через точку A(-4;6) и отсекающих от осей координат треугольник площадью 6 см2.
Упражнение 2.13.
Найти координаты вершин треугольника,
образованного прямыми
,
,
.
Построить треугольник, найти тангенсы
его углов и координаты точки пересечения
высот.
Упражнение 2.14.
Найти координаты вершин треугольника,
образованного прямыми
,
,
.
Построить этот треугольник, найти его
площадь.
Упражнение 2.15. В треугольнике с заданными вершинами найти уравнения сторон и высот, длины медиан и средних линий: а) A(5;3), B(2;3), C(0;-3) b) A(-3;7), B(7;1), C(-1;-1).
Упражнение 2.16.
Записать канонические и параметрические
уравнения прямой, проходящей через
заданную точку параллельно заданному
вектору; привести к общему виду: a)
A(4;3;2),
;
b) A(-2;-3;1),
.
Упражнение 2.17. Записать канонические и параметрические уравнения прямой, проходящей через заданные точки, привести к общему виду:
a) A(-1;2;3), B(2;6;-2); b) A(3;-1;4) и B(1;3;2).
Упражнение 2.18. Решить графически систему линейных неравенств:
1)
|
2)
|
3)
|
4)
|
5)
|
6)
|
7)
|
8)
|
9)
|
