4. 1. Деревья, бинарные деревья, представление деревьев

Деревья нужны для описания любой структуры с иерархией. Традиционные примеры таких структур: генеалогические деревья, десятичная классификация книг в библиотеках, иерархия должностей в организации, алгебраическое выражение,

рис. 17 - дерево

Узел X называется ПРЕДКОМ (или ОТЦОМ), а узлы Y и Z называются НАСЛЕДНИКАМИ (или СЫНОВЬЯМИ) их соответственно между собой называют БРАТЬЯМИ. Причем левый сын является старшим сыном, а правый - младшим. Число поддеревьев данной вершины называется СТЕПЕНЬЮ этой вершины. ( В данном примере X имеет 2 поддерева, следовательно СТЕПЕНЬ вершины X равна 2).

Если из дерева убрать корень и ребра, соединяющие корень с вершинами первого яруса, то получится некоторое множество несвязанных деревьев. Множество несвязанных деревьев называется ЛЕСОМ (рис. 6.9).

рис. 18 - лес

Ориентированное дерево - это такой ациклический орграф (ориентированный граф), у которого одна вершина, называемая корнем, имеет полустепень захода, равную 0, а остальные - полустепени захода, равные 1.

Ориентированное дерево должно иметь, по крайней мере, одну вершину. Изолированная вершина также представляет собой ориентированное дерево.

Вершина ориентированного дерева, полустепень исхода которой равна нулю, называется КОНЦЕВОЙ (ВИСЯЧЕЙ) вершиной или ЛИСТОМ; все остальные вершины дерева называют вершинами ветвления.

Длина пути от корня до некоторой вершины называется УРОВНЕМ (НОМЕРОМ ЯРУСА) этой вершины.

Уровень корня ориентированного дерева равен нулю, а уровень любой другой вершины равен расстоянию (т.е. модулю разности номеров уровней вершин) между этой вершиной и корнем. Ориентированное дерево является ациклическим графом, все пути в нем элементарны.

При представлении дерева в ЭВМ такой порядок вводится автоматически, даже если он сам по себе произволен. Порядок следования вершин на некотором ярусе можно легко ввести, помечая одну вершину как первую, другую - как вторую и т.д. Вместо упорядочивания вершин можно задавать порядок на ребрах.

Если в ориентированном дереве на каждом ярусе задан порядок следования вершин, то такое дерево называется УПОРЯДОЧЕННЫМ ДЕРЕВОМ.

Логическое представление и изображение деревьев.

Имеется ряд способов графического изображения деревьев.

Первый способ заключается в использовании для изображения поддеревьев известного метода диаграмм Венна.

второй - метода вкладывающихся друг в друга скобок,

третий способ - это способ, применяемый при составлении оглавлений книг.

Последний способ, базирующийся на формате с нумерацией уровней, сходен с методами, используемыми в языках программирования. При применении этого формата каждой вершине приписывается числовой номер, который должен быть меньше номеров, приписанных корневым вершинам присоединенных к ней поддеревьев. Отметим, что корневые вершины всех поддереьев данной вершины должны иметь один и тот же номер.

Бинарные деревья.

Рис. 19 - изображения бинарных деревьев

Существуют m-арные деревья, т.е. такие деревья у которых полустепень исхода каждой вершины меньше или равна m

где m может быть равно 0,1,2,3 и т.д.

Если полустепень исхода каждой вершины в точности равна либо m, либо нулю, то такое дерево называется ПОЛНЫМ m-АРНЫМ ДЕРЕВОМ.

Бинарные деревья, изображенные на рис.6.13(a) и 6.13(d), представляют собой разные позиционные деревья, хотя они не являются разными упорядоченными деревьями.

В позиционном бинарном дереве каждая вершина представлена единственным образом посредством строки символов над алфавитом {0,1}, при этом корень характеризуется пустой строкой. Любой сын вершины "u" характеризуется строкой, префикс (начальная часть) которой является строкой, характеризующей "u".

Примером бинарного дерева является фамильное дерево с отцом и матерью человека в качестве его потомков. Еще один пример - это арифметическое выражение с двухместными операциями, где каждая операция представляет собой ветвящийся узел с операндами в качестве поддеревьев.

Представить m-арное дерево в памяти ЭВМ сложно, т.к. каждый элемент дерева должен содержать столько указателей, сколько ребер выходит из узла (при m-3,4.5.6... соответствует 3,4,5,6... указателей). Это приведет к повышенному расходу памяти ЭВМ, разнообразию исходных элементов и усложнит алгоритмы обработки дерева. Поэтому m-арные деревья, лес необходимо привести к бинарным для экономии памяти и упрощению алгоритмов. Все узлы бинарного дерева представляются в памяти ЭВМ однотипными элементами с двумя указателями (см.разд. 6,2,5), кроме того, операции над двоичными деревьями выполняются просто и эффективно.

При m=2 такие деревья называются соответственно БИНАРНЫМИ, или ПОЛНЫМИ БИНАРНЫМИ.

На рисунке 6.12(a) изображено бинарное дерево, 6.12(b)- полное бинарное дерево, а на 6.12(c) показаны все четыре возможных расположения сыновей некоторой вершины бинарного дерева.

МЕТОД ВЛОЖЕННЫХ СКОБОК

(V0(V1(V2(V5)(V6))(V3)(V4))(V7(V8)(V9(V10))))

Рис. 20 -Представление дерева: а)- исходное дерево, б)- оглавление книг, в)- граф, г)- диаграмма Венна

Все эти представления демонстрируют одну и ту же структуру и поэтому эквивалентны. С помощью графа можно наглядно представить разветвляющиеся связи, которые по понятным причинам привели к общеупотребительному термину "дерево".

Дерево и лес любого вида можно преобразовать единственным образом в эквивалентное бинарное дерево.

Правило построения бинарного дерева из любого дерева:

1. В каждом узле оставить только ветвь к старшему сыну (вертикальное соединение);

2. Соединить горизонтальными ребрами всех братьев одного отца;

3. Таким образом перестроить дерево по правилу:

левый сын - вершина, расположенная под данной;

правый сын - вершина, расположенная справа от данной (т.е. на одном ярусе с ней).

4. Развернуть дерево таким образом, чтобы все вертикальные ветви отображали левых сыновей, а горизонтальные - правых.

В результате преобразования любого дерева в бинарное получается дерево в виде левого поддерева, подвешенного к корневой вершине.

В процессе преобразования правый указатель каждого узла бинарного дерева будет указывать на соседа по уровню. Если такового нет, то правый указатель NIL. Левый указатель будет указывать на вершину следующего уровня. Если таковой нет, то указатель устанавливается на NIL.

Рис.21 - Исходное дерево

Рис. 22 - Промежуточный результат перестройки дерева

Рис. 23 - Представление дерева в виде бинарного

Описанный выше метод представления произвольных упорядоченных деревьев посредством бинарных деревьев можно обобщить на представление произвольного упорядоченного леса.