Розв”язати це ж питання для чотирьох точок площини.
№ 36. Порахувати визначник методом рекурентних співвідношень:
№ 37. Порахувати визначник методом рекурентних співвідношень:
№ 38. Порахувати визначник методом представлення його у вигляді суми:
№ 39. Порахувати визначник
№ 40. Порахувати визначник
№ 41. Порахувати визначник
№ 42. Порахувати визначник
№ 43. Порахувати визначник
№ 44. Порахувати визначник
№ 45. Порахувати визначник
№ 46. Користуючись теоремою Лапласа, порахувати визначник, попередньо перетворивши його:
№ 47. Знайти обернену матрицю для:
№ 48. Знайти обернену матрицю для:
Додаткові завдання по модулю № 2
№ 1. Чи є лінійним простором:
1) пуста множина;
2) множина, що складається з одного нульового елемента?
№ 2. Знайти розмірність і базис суми і перетину лінійних підпросторів простору багаточленів степені не вище 3, натягнутих на системи багаточленів
1 + 2t + t3, 1 +t + t2, t – t2 + t3 і 1 + t2, 1 + 3t + t3, 3t - t2 + t3.
№ 3. Довести, що множина багаточленів степені не вище n з комплексними коефіцієнтами можна розглядати і як комплексний лінійний простір, і як дійсний лінійний простір. В обох випадках знайти:
базис і розмірність простору ;
координатний стовпчик багаточлена 1 – 2i +
+ (3 + i) t –3t2 в знайденому базисі (при n = 2).
№ 4. Нехай х – довільний вектор, а, n - фіксовані ненульові вектори геометричного векторного простору (двовимірного або тривимірного). Перевірити лінійність перетворення , заданого наступною формулою, і вияснити його геометричний смисл, якщо:
1) , 2) ,
3)
№ 5. Перевірити лінійність і вияснити геометричний смисл перетворення тривимірного геометричного векторного простору, заданого формулою (a, u, v – фіксовані вектори):
1) ;
2) .
№ 6. В лінійному просторі дійсних багаточленів p(x, y) від двох змінних x, y перетворення визначено формулою (p(x, y)) = p(x + a, y + b) (a, b - фіксовані числа). Показати, що визначає лінійне перетворення простору багаточленів не вище другої степені, і обчислити його матрицю в базисі 1, x, y, x2, xy, y2 .
№ 42. Нехай D - диференціювання в просторі багаточленів степені не вище m. Обрахувати матрицю перетворення D, якщо базис складається з багаточленів :
1 + t, t + 2t2, 3t2 – 1 (m = 2);
t3 + 1, 1 – t, 1 – t + t2, 1 – t + t2 – t3 (m = 3).
№ 7. Нехай в лінійному просторі задані дві операції скалярного множення (x,y)1 та (x,y)2. Показати, що для довільних чисел ≥0, ≥0, одночасно не рівних нулю, операцією скалярного множення буде також і
(x,y)= (x,y)1 + (x,y)2.
№ 8. Чи в будь-якому скінченновимірному лінійному просторі можна ввести операцію скалярного множення ? Відповідь аргументувати
№ 9. Які із функцій в комплексному лінійному просторі Cm × n матриць розмірів m×n :
1) , 2)
3)
можуть слугувати унітарним скалярним добутком?
№ 10. Нехай t1, ..., tm - попарно різні дійсні числа. Довести, що в лінійному просторі багаточленів степені не вище n (n < m) з дійсними коефіцієнтами скалярний добуток можна задати формулою
Чи є ця функція евклідовим скалярним добутком, якщо m≤ n ?
№ 11. Вектори x і y евклідового або унітарного простору задані в базисі e1 ,..., en координатними стовпчиками і відповідно, і відома матриця Грама Гf базису f1,…, fn. Обрахувати матрицю Грама Гe базису e1,…, en і скалярний добуток векторів x і y, якщо :
f1=e1 – e2 , f2=e1 – 2e2
f1=e1 – e2 , f2=e1 + e2
№ 12. Довести нерівність:
1) ,
2) ,
де a1 ,…, an , b1,…, bn - довільні дійсні або комплексні числа. В яких випадках в цих нерівностях досягається знак рівності ?
№ 13. Застосувати процес ортогоналізації і нормування до лінійно незалежної системи векторів дійсного арифметичного простору із стандартним скалярним добутком :
(1, 2, 2)T , (1, 1, 0)T , (0, 1, -4)T
(2, 1, -2)T , (4, 1, 0)T , (0, 1, 0)T
№ 14. В ортонормованому базисі чотирьохвимірного евклідового простору пара векторів заданакоординатними стовпчиками. Доповнити цю систему векторів до ортогонального базису .
(1, 1, 1, 2)T , (1, 0, 1, -1)T
(1, -1, 2, 0)T , (-1, 1, 1, 3)T
№ 15. Перевірити, що тригонометрична система функцій 1, cos t, sin t, …, cos nt, sin nt ортогональна відносно скалярного добутку.
Нормувати цю систему.
№ 16. Нехай А – матриця лінійного перетворення евклідового простору в деякому базисі, Г – матриця Грама цього базису. Знайти матрицю А* спряженого перетворення в тому ж базисі, якщо:
1) ;
2) .
№ 17. Перетворення евклідового простору багаточленів степені не вище 2 із скалірним добутком ставить у відповідність багаточлену його похідну. Знайти матрицю спряженого перетворення:
в базисі 1, t, t2 ;
в базисі 1, t, 3t2 – 1.
№ 18. Чи може для лінійної функції f, заданої на Ln, при всіх x Ln виконуватись:
1) нерівність f (x) > 0; 2) нерівність f (x) 0;
3) рівність f (x) = ?
№ 19. Функція tr Х співставляє кожній квадратній матриці Х порядку n її слід. Перевірити, що ця функція є лінійною і знайти її координатну стрічку (координатну матрицю) в стандартному базисі простору матриць.
№ 20. Знайти кут між діагоналлю і ребром п-мірного куба.
№ 21. Знайти відношення довжини ортогональної проекції довільного ребра п–мірного куба на його діагональ до довжини діагоналі.