- •Общая задача нелинейного программирования выглядит следующим образом:
- •Определение. Классической задачей условной оптимизации называют задачу
- •Необходимые условия первого порядка
- •7. Следующее определение описывает локальное решение задачи нелинейного программирования, "обычное" в том смысле, что в его окрестности ограничения и цф задачи ведут себя "стандартно".
- •9. Определения.
Предмет исследования операций — подготовка информации для принятия целесообразных решений, а метод — построение и анализ математической модели операции.
Этап 1: содержательное описание операции (должен дать ответы на следующие вопросы: Какие неуправляемые параметры (воздействия внешней среды) существенно влияют на операцию, какие значения могут принимать эти параметры? Какая информация о состоянии внешней среды будет доступна в момент принятия решения? Какие выходные параметры описывают результат операции? Как связаны между собой управляемые, неуправляемые и выходные параметры? Как оценить степени достижения целей операции при данных значениях неуправляемых и выходных параметров?)
Схема: управляемые параметры и внешние воздействия =>ОПЕРАЦИЯ=> способ оценки результата
Информация, собранная на этапе 1, позволяет сформировать правдоподобные предположения о существенных свойствах операции и объекта в целом.
Этап 2: построение математической модели (Математическая модель формализует содержательное описание операции, полученное на предшествующем этапе. Построение и анализ модели существенно упрощаются, если она относится к хорошо изученному типу. Необходимые условия применимости для многих типов моделей точно сформулированы. Проверка этих условий может потребовать возвращения к этапу 1. Управляемым параметрам ставятся в соответствие переменные, значения которых модель должна определить, внешним условиям и воздействиям — параметры модели, а выходным параметрам — результирующие показатели. Модель включает ограничения, которые описывают множества значений переменных, параметров модели и результирующих показателей, а также соотношения между этими значениями: неравенства и уравнения (алгебраические, дифференциальные и т.д.), обоснованные теоретически, или опирающиеся на гипотезы (сформулированные на этапе 1), или выведенные статистически. Способ оценки результата формализуется в виде целевой функции (ЦФ), зависящей от выходных показателей и параметров модели. Параметры модели следует выбирать так, чтобы их значения можно было определить (измерить, оценить) к моменту принятия решения. ЦФ может быть задана формулой, таблицей, алгоритмом вычисления. Направление оптимизации (минимизация или максимизация) указывает, какие значения ЦФ предпочтительны, большие или малые.)
Этап 3: анализ модели ( )
Этап 4:проверка модели
Этап 5: разработка рекомендаций
Общая задача нелинейного программирования выглядит следующим образом:
/(х) ->max (2.1.1)
при
gi(x) = bi, г £ {l,...,mi}; (2.1.2)
gi(x) <bi, i e {mi + l,...,m}, (2.1.3)
где x e R"; все bi — действительные числа; / и gt— функции, принимающие значения из R.
Множество всех решений системы уравнений и неравенств (2.1.2) - (2.1.3) является множеством допустимых решений задачи.
Задача нелинейного программирования — частный случай задачи (1.3.1), специфика которого в том, что X является подмножеством R™ и описано системой ограничений: равенств (2.1.2) и неравенств (2.1.3). Ограничения вида g(x) >b сводятся к (2.1.3) умножением на (—1). Параметрами задачи нелинейного программирования являются: число переменных, вид ЦФ (2.1.1), число, структура и правые части ограничений.
Пусть X — множество допустимых решений задачи (2.1.1) — (2.1.3). Все функции gtдолжны быть определены на X, поскольку х е X означает, что все ограничения в точке х выполняются и, следовательно, левые части ограничений являются числами. Кроме того, если х — допустимое решение, то моделируемую операцию можно осуществить при управлении х и получить какой- то результат, оценка которого, по предположению, равна /(х); следовательно, функция / тоже должна быть определена на X.
Определения. Функция F(x) на множестве MCR™ имеет локальный максимум в х0, если х0 е М и существует такая окрестность О точки х0, что -F(x0) >F(x) для всех хе On М.
Аналогично определяется локальный минимум функции F(x) наМ.
Локальный экстремум — это локальный максимум или локальный минимум.
Локальный экстремум называют безусловным, если MR", и условным — в противном случае.
Локальное решение задачи нелинейного программирования — это локальный максимум функции (2.1.1) на множестве X, определенном ограничениями (2.1.2), (2.1.3).
Определение. Классической задачей условной оптимизации называют задачу
/(х) —> max при дДх) = btдля i е {1,..., т} (2.3.1)
(задача нелинейного программирования (2.1.1) - (2.1.3), в которой все ограничения являются равенствами, т\=т).
Замечание 4. Неравенство (2.1.3) эквивалентно уравнению #i(x) + s? = bi в следующем смысле: если х — решение неравенства, то bi — gi(x) > 0, значение Si = \fb~i — gi(x) определено и (х, Si) — решение уравнения; если же (х, s^ — решение уравнения, то bi — gi(x) = s? > 0 их — решение неравенства. В аналогичном смысле неравенство g(x) >bi эквивалентно уравнению g(x)-s(i)в квадрате= bi. В частности, x(j)>либо= 0 эквивалентно x(j)=z(j)в квадрате.
Из замечания 4 следует, что всякую задачу нелинейного программирования можно свести к классической задаче условной оптимизации (впрочем, такое сведение не всегда целесообразно). Предположим, что в (2.3.1) функции / и gt (i е {1,..., m}) непрерывно дифференцируемы на множестве допустимых решений. В этом случае большое теоретическое и прикладное значение имеет метод множителей Лагранжа, который позволяет, используя необходимое условие локального экстремума, найти множество точек, "подозрительных на экстремум" в задаче (2.3.1). Вспомним определения и утверждения, необходимые для изложения этого метода. Рассмотрим функцию F, определенную и дифференцируемую на множестве АСRП.
Определения. Множество всех решений уравнения F(x) = с (с е R) называется поверхностью уровня (в двухмерном случае — линией уровня) с для функции F.
Поверхность уровня проходит через точку а (точка лежит на поверхности уровня), если а удовлетворяет соответствующему уравнению.
Вектор, составленный из частных производных функции F, вычисленных в точке х принадлежит А, называют градиентом этой функции в точке х и обозначают VF(x) (первый символ читается "на-бла"), т. е. ……………………
Если VF(x) = 0, то х — стационарная точка функции F.