- •Множества и действия над ними.
- •Понятие отображения, образ и прообраз множества при отображении, суперпозиция отображений, сужение отображения, график отображения.
- •Сюрьективные, инъективные и биективные отображения. Обратное отображение.
- •Аксиома непрерывности множества вещественных чисел. Точные грани числовых множеств.
- •Предел числовой последовательности. Сходящиеся и расходящиеся последовательности.
- •Арифметические свойства сходящихся последовательностей.
- •Предельный переход в неравенствах (для последовательностей).
- •Монотонные последовательности. Теорема о пределе монотонной последовательности.
- •Применение теоремы о пределе монотонной последовательности к вычислению пределов.
- •Число e.
- •Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности.
- •Лемма о вложенных отрезках.
- •Подпоследовательности. Теорема Больцано-Вейерштрасса об ограниченной последовательности.
- •Частичные пределы. Верхний и нижний пределы.
- •Фундаментальные последовательности. Критерий Коши сходимости числовой последовательности.
- •Предел функции: два определения и их эквивалентность. Теоремы о пределе функции, вытекающие из теорем о пределе числовой последовательности.
- •Критерий Коши существования предела функции.
- •Локальные свойства функций имеющих предел.
- •Теорема о пределе суперпозиции.
- •Односторонние пределы.
- •Бесконечные пределы и пределы в бесконечности.
- •Бесконечно малые и бесконечно большие функции.
- •Символы о-малое и о-большое, эквивалентные б.М. И б.Б.
- •Замечательные пределы
- •Асимптоты графика функции
- •Понятие непрерывной функции. Простейшие свойства непрерывных функций, в том числе, вытекающие из свойств предела.
- •Точки разрыва функции и их классификация. Примеры: функция Дирихле и другие примеры
- •Равномерно непрерывные функции. Теорема Кантора.
- •Теоремы Больцано-Коши о промежуточных значениях непрерывной функции.
- •Теоремы Вейерштрасса о непрерывных на отрезке функциях.
- •Критерий непрерывности монотонной функции. Теорема об обратной функции к непрерывной и строго монотонной функции.
- •Понятие производной, ее геометрический и механический смысл. Уравнение касательной к графику функции в данной точке.
- •Дифференцируемые функции. Понятие дифференциала.
- •Арифметические операции с дифференцируемыми функциями.
- •Дифференцирование сложной функции.
- •Дифференцирование обратной функции.
- •Дифференцирование элементарных функций. Таблица производных.
- •Локальный экстремум функции. Теорема Ферма.
- •Теоремы о среднем значении для дифференцируемых функций: теоремы Роля, Лагранжа и Коши.
- •Производные и дифференциалы высших порядков.
- •Формула Тейлора для многочлена.
- •Локальная формула Тейлора (формула Тейлора с остаточным членом в форме Пеано).
- •Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа и в форме Коши.
- •Разложение элементарных функций по формуле Тейлора.
- •Правило Лопиталя.
- •Условия монотонности функции.
- •Условия экстремума функции.
- •Условия выпуклости функции.
- •Д о к а з а т е л ь с т в о. Необходимость. Пусть функция является выпуклой. Выберем произвольно , , и покажем, что (9)
- •Точки перегиба графика функции.
- •Множество вещественных чисел (натуральные, целые, рациональные и иррациональные числа, модуль (абсолютная величина вещественного числа) и его свойства.
- •Комплексные числа.
Множества и действия над ними.
Ту или иную совокупность (класс, семейство) рассматриваемых объектов называют множеством, а соответствующие объекты – элементами или точками этого множества.
Множество, состоящее из конечного числа элементов, называется конечным, в противном случае оно называется бесконечным.
К числу множеств удобно отнести и, так называемое, пустое множество, которое по определению не содержит ни одного элемента.
Если каждый элемент множества является также и элементом множества , то множество называется подмножеством множества , ( ).
Множества и называют равными друг другу ( ) , если они состоят из одних и тех же элементов или, иначе, если и .
Объединением множеств и называется множество .
Пересечением множеств и называется множество .
Очевидно, имеют место следующие свойства операций ∪ и ∩:
а) (коммутативность операции ∪);
б) (коммутативность операции ∩);
в) (ассоциативность операции ∪);
г) (ассоциативность операции ∩);
д) и
(дистрибутивные свойства операций ∪ и ∩);
Разностью между множеством и множеством называется множество .
Прямым (или декартовым) произведением множеств и называется множество всех упорядоченных пар таких, что .
Прямое произведение множеств и обозначается . Отметим, что вообще говоря, .
Понятие отображения, образ и прообраз множества при отображении, суперпозиция отображений, сужение отображения, график отображения.
Пусть и – произвольные множества. Правило , по которому каждому элементу ставится в соответствие определенный, и при том единственный, элемент называется отображением множества во множество , при этом множество называется областью определения отображения , а множество - областью значений этого отображения.
Если элемент отображением сопоставляется элементу , то элемент называют образом элемента при отображении или значением отображения в точке и обозначают , при этом пишут , а сам элемент , который отображением сопоставляется элементу, называют прообразом элемента y при отображении .
(Подчеркнем, что образ элемента при отображении (по определению отображения) определяется однозначно, а прообразов элемента при том же отображении может быть несколько. Множество всех прообразов элемента при отображении обозначается ).
Множество называется графиком отображения .
Пусть задано отображение и множество . Определим новое отображение , полагая, что . Так определенное отображение называется сужением отображения на множество (обозначается ).
Образом множества при отображении называют множество .
Отображения и называют равными друг другу и пишут , если и .
Отображение будем называть
а) функцией, если (в частности, отображение , где – произвольное, необязательно числовое множество, является функцией)
б) числовой функцией или функцией одной переменной, если и .
Пусть даны отображения и . Новое отображение , определенное по следующему правилу: называют суперпозицией отображений и .
Суперпозицию отображений и обычно обозначают символом (таким образом, ), при этом если оба отображения и являются функциями, то их суперпозицию называют сложной функцией.