• Прямая геодезическая задача

В геодезии часто приходится передавать координаты с одной точки на другую. Например, зная исходные координаты точки А горизонтальное расстояние SAB от неё до точки В и направление линии, соединяющей обе точки (дирекционный угол αAB или румб rAB), можно определить координаты точки В. В такой постановке передача координат называется прямой геодезической задачей.

Для точек, расположенных на сфероиде, решение данной задачи представляет значительные трудности.

 ΔX = XB – XA ;

 ΔY = YB – YA .

Разности ΔX и ΔY координат точек последующей и предыдущей называются приращениями координат. Они представляют собой проекции отрезка АВ на соответствующие оси координат.

ΔX = SAB · cos αAB ;

ΔY = SAB · sin αAB .

Так как в этих формулах SAB всегда число положительное, то знаки приращений координат ΔX  и  ΔY зависят от знаков cos αAB  и  sin αAB.

Знаки приращений координат ΔX и ΔY

Приращения координат	Четверть окружности в которую направлена линия
	I (СВ)	II (ЮВ)	III (ЮЗ)	IV (СЗ)
ΔX	+	–	–	+
ΔY	+	+	–	–

При помощи румба приращения координат вычисляют по формулам:

ΔX = SAB · cos rAB ;

ΔY = SAB · sin rAB .

Знаки приращениям дают в зависимости от названия румба.

Вычислив приращения координат, находим искомые координаты другой точки:

 XB = XA + ΔX  ;

 YB = YA + ΔY  .

Таким образом можно найти координаты любого числа точек по правилу: координаты последующей точки равны координатам предыдущей точки плюс соответствующие приращения.

• Обратная геодезическая задача

Обратной геодезической задачей называют определение длины и направление отрезка линии по данным координатам её начальной и конечной точек.

Обратная геодезическая задача заключается в том, что при известных координатах точек А( XA, YA ) и В( XB, YB ) необходимо найти длину SAB и направление линии АВ: румб rAB  и  дирекционный угол αAB

Даннная задача решается следующим образом.

Сначала находим приращения координат:

 ΔX = XB – XA ;

 ΔY = YB – YA .

Величину угла rAB определем из отношения

ΔY	= tg rAB
ΔX

По знакам приращений координат вычисляют четверть, в которой располагается румб, и его название. Используя зависимость между дирекционными углами и румбами, находим αAB.

Для контроля расстояние SAB дважды вычисляют по формулам:

SAB=	ΔX	=	ΔY	= ΔX · sec αAB = ΔY · cosec αAB
	cos αAB		sin αAB

 

 

SAB=	ΔX	=	ΔY	= ΔX · sec rAB = ΔY · cosec rAB
	cos rAB		sin rAB

Расстояние sab можно определить также по формуле

.

• Масштаб численный, именованный. Предельная графическая точность и точность изображения.

Масштабом называется отношение длины линии на плане или карте к соответствующей проекции этой линии на местности. Иными словами, в геодезии масштаб — это степень уменьшения горизонтального положения линий местности на карте.

Масштабы на картах и планах могут быть представлены численно или графически.

Численный масштаб записывают в виде дроби, в числителе которой стоит единица, а в знаменателе — степень уменьшения проекции. Например, масштаб 1:5 000 показывает, что 1 см на плане соответствует 5 000 см (50 м) на местности.

Более крупным является тот масштаб, у которого знаменатель меньше. Например, масштаб 1:1 000 крупнее, чем масштаб 1:25 000.

Масштабы изображений на чертежах должны выбираться из следующего ряда:[1]

Масштабы уменьшения	1:2; 1:2,5; 1:4; 1:5; 1:10; 1:15; 1:20; 1:25; 1:40; 1:50; 1:75; 1:100; 1:200; 1:400; 1:500; 1:800; 1:1 000
Натуральная величина	1:1
Масштабы увеличения	2:1; 2,5:1; 4:1; 5:1; 10:1; 20:1; 40:1; 50:1; 100:1

При проектировании генеральных планов крупных объектов допускается применять масштабы 1:2 000; 1:5 000; 1:10 000; 1:20 000; 1:25 000; 1:50 000. В необходимых случаях допускается применять масштабы увеличения (100n):1, где n — целое число.

Именованный масштаб — то же, что численный, но выраженный иначе: «в одном: сантиметре сто метров»

Точность масштаба — это отрезок горизонтального проложения линии, соответствующий 0,1 мм на плане. Значение 0,1 мм для определения точности масштаба принято из-за того, что это минимальный отрезок, который человек может различить невооруженным глазом. Например, для масштаба 1:10 000 точность масштаба будет равна 1 м. В этом масштабе 1 см на плане соответствует 10 000 см (100 м) на местности, 1 мм — 1 000 см (10 м), 0,1 мм — 100 см (1 м).

Предельная (или натуральная) точность масштаба — это точность построений и измерений, перенесенная в натуру с учетом масштаба используемой карты.