Дифференцирование под знаком ряда(почленное дифференцирование).

Определение. Если для сходящегося ряда существует производная суммы, равная ряду производных , то говорят, что возможно дифференцирование под знаком ряда.

Теорема 4. Если на промежутке определены гладкие функции , ряд сходится к функции S(x), ряд производных сходится равномерно, то функция S(x) – гладкая и возможно дифференцирование под знаком ряда на этом промежутке.

Доказательство. Будем действовать на отрезке [a, x], содержащемся в данном промежутке. Обозначим сумму . По теореме 2 эта функция – непрерывна. По теореме 3 эту функцию можно интегрировать почленно:

Итак, функция S(x) – гладкая и ее производная равна сумме ряда производных f ’_n(x).

Степенные ряды.

Определение и теорема об области сходимости.

Определение. Степенным рядом называется функциональный ряд следующего вида . Для краткости будем обозначать его .

Введем величину

1. Если К=0, К₀<1, ряд абсолютно сходится при всех х.

2. Если К= , ряд расходится при всех .

3. Если , то ряд абсолютно сходится при К₀<1 и расходится при K₀>1.

Введем величину R=1/K, считая ее равной или 0 в первом и втором случаях соответственно. Эта величина называется радиусом сходимости. Тем самым доказана лемма, приведенная ниже.

Лемма. Существует такая величина , что:

- если , то ряд абсолютно сходится всюду;

- если R=0, то ряд сходится только при х=0;

- если 0<R< , то ряд абсолютно сходится при |x|<R и расходится при |x|>R.

Интервал (-R;R) называется интервалом сходимости. Видно, что на его концах поведение ряда может быть различным. Тем самым доказана следующая теорема:

Теорема. Областью сходимости степенного ряда степенного ряда является один из промежутков: 0, (-R;R), [-R;R], (-R;R], [-R;R), , где радиус сходимости удовлетворяет равенству .

Ясно, что в общем случае, для ряда областью сходимости является промежуток (a-R,a+R).

Вычисление радиуса сходимости.

Метод Коши : R=1/K , (если существует этот самый предел).

По Даламберу (также, если существует этот самый предел).

Равномерная сходимость степенного ряда.

Отрезок [a,b] входящий (-R;R) будем называть внутренним. Ясно, что существует такое число r : 0<r<R, что [a, b] входит в [-r,r] который входит в (-R,R).

Теорема 1. На внутреннем отрезке степенной ряд сходится равномерно.

Доказательство. Если сходится абсолютно, так как точка r находится в интервале сходимости. Итак, по достаточному свойству Вейерштрасса, ряд сходится равномерно на отрезке [-r ; r] и, следовательно, на [a;b].

Почленное интегрирование и дифференцирование степенного ряда.

Вначале заметим, что ряды отличаются друг от друга только сомножителем х, поэтому их поведение одинаково и они имеют один и тот же радиус сходимости. Кроме того, вспомним утверждение о верхнем пределе числовой последовательности : .

Теорема 2. На интервале сходимости степенной ряд можно дифференцировать под знаком ряда . Радиусы сходимости этих рядов одинаковы.

Доказательство. Обозначим радиусы сходимости этих рядов, соответственно, как R, R₁. По Коши, . Пусть теперь точка х – произвольная фиксированная точка интервала сходимости. Ясно, что существует такая величина r, что . По теореме 1, на внутреннем отрезке [-r ; r] степенные ряды сходится равномерно. Члены степенного ряда – гладкие функции. Тогда, по теореме 4 о дифференцирования функционального ряда, можно дифференцировать под знаком степенного ряда.

Кроме заключения, из теоремы 2 также следует, что сумма степенного ряда имеет производные любого порядка. Такие функции называются бесконечно дифференцируемыми или аналитическими.

Поскольку из дифференцируемости следует непрерывность, то справедлива следующая теорема. Теорема 3. Сумма степенного ряда на интервале сходимости является непрерывной функцией.

Теорема 4. На интервале сходимости степенной ряд можно интегрировать под знаком ряда: Радиусы сходимости этих рядов одинаковы.

Доказательство. Возможность интегрирования под знаком ряда следует из непрерывности функций c_ntⁿ и равномерной сходимости степенного ряда на внутреннем отрезке [0, x] в силу теоремы 3 об интегрировании функционального ряда. Обозначим радиус сходимости ряда Тогда,

Разложение логарифма в степенной ряд.

Рассмотрим ln(1+x) как интеграл с переменным верхним пределом: Поскольку подынтегральная дробь является суммой степенного ряда с радиусом сходимости R=1, то при |x|<1 переменная находится в интервале сходимости ряда. По теореме 4, возможно интегрирование под знаком ряда, тогда .

Этот ряд сходится быстрее ряда элементов геометрической прогрессии.

Разложение арктангенса в степенной ряд.

Аналогично предыдущему случаю имеем : . Обозначим z=t², ряд сходится при . После интегрирования под знаком ряда, получаем :

Для приближенного вычисления арктангенсов при x>1, используют формулу:

Разложение арксинуса в степенной ряд.

Степенной ряд для .

Тогда представим . Поскольку , то возможно интегрирование под знаком ряда:

Ряд Тейлора.

Пусть функция f(x) имеет производные любого порядка на некотором промежутке, содержащем в себе точку а.

Определение. Рядом Тейлора функции f(x) называется степенной ряд Если ряд сходится, то, как легко проверить, он является рядом Тейлора своей суммы.

Рассмотрим обратную задачу. Пусть задана бесконечно дифференцируемая функция и составлен ее ряд Тейлора. Сходится ли этот ряд, а если сходится, то совпадает ли его сумма с заданной функцией? Там в лекциях какая то магия происходит, и делается вывод, что бесконечной дифференцируемости функции еще недостаточно для ее разложимости в ряд Тейлора.