11 Вопрос
Теорема. Пусть
и
– общие уравнения двух прямых на координатной плоскости Оху. Тогда
1) если , то прямые и совпадают;
2) если , то прямые и
параллельные;
3) если , то прямые пересекаются.
Доказательство. Условие равносильно коллинеарности нормальных векторов данных прямых:
. Поэтому, если , то и прямые пересекаются.
Если же , то , , и уравнение прямой принимает вид:
или , т.е. прямые совпадают. Заметим, что коэффициент пропорциональности , иначе все коэффициенты общего уравнения были бы равны нулю, что невозможно.
Если же прямые не совпадают и не пересекаются, то остается случай , т.е. прямые параллельны.
Теорема доказана.
Заметим, что если прямые пересекаются, то для нахождения координат их точки пересечения достаточно решить систему двух уравнений с двумя неизвестными:
. (4)
Следствие. Пусть – определитель системы (4). Если , то прямые пересекаются в одной точке и система (4) имеет единственное решение, которое можно найти по формулам Крамера:
, (5)
где , .
Если , то прямые или параллельны и тогда система (4) не имеет решений, или прямые совпадают и тогда система (4) имеет бесконечно много решений.
Доказательство. По определению определителя второго порядка
.
Если , то и , т.е. прямые пересекаются и координаты точки пересечения можно найти по формулам Крамера (5).
Если же , то и , т.е. либо прямые параллельны и тогда система не может иметь ни одного решения, либо прямые совпадают и тогда система (4) состоит из одного уравнения и решениями такой системы являются координаты любой точки, лежащей на прямой, а их бесконечно много.
следствие доказано.
Пример. Выяснить взаимное расположение двух прямых
и
и если они пересекаются, найти их точку пересечения.
Решение. Решим систему
.
Определитель системы
,
следовательно прямые пересекаются. Вычисляем координаты точки пересечения:
, ,
, .
Ответ. Прямые пересекаются в точке .
Вопрос 12
Рассмотрим некоторые способы графического задания плоскости. Положение плоскости в пространстве может быть определено:
1. тремя точками, не лежащими на одной прямой линии (рис.41);
|
|
|
|
|
|||
|
|||
а) модель |
б) эпюр |
||
Рисунок 41. Плоскость, заданная тремя точками, не лежащими на одной прямой |
2. прямой линией и точкой, не принадлежащей этой прямой (рис.42);
|
|
|
|
|
|||
|
|||
а) модель |
б) эпюр |
||
Рисунок 42. Плоскость, заданная прямой линией и точкой, не принадлежащей этой линии |
3. двумя пересекающимися прямыми (рис.43);
|
|
|
|
||
|
|||||
|
|||||
а) модель |
б) эпюр |
|
|||
Рисунок 43. Плоскость, заданная двумя пересекающимися прямыми |
|
||||
|
|
|
|
||
|
|||||
|
|
||||
|
4. О положении плоскости относительно плоскостей проекций удобно судить по её следам (рис.45).
Следом плоскости называется прямая линия, по которой плоскость пересекается с плоскостью проекций. В зависимости от того, какую плоскость проекций пересекает данная плоскость различают горизонтальныйП1, фронтальный П2 и профильный П3 следы.
|
|
|
|
|
|||
|
|||
а) модель |
б) эпюр |
||
Рисунок 45. Плоскость, заданная следами |
Следы плоскости общего положения пересекаются попарно на осях в точках ax,ay,az. Эти точки называются точками схода следов, их можно рассматривать как вершины трехгранных углов, образованных данной плоскостью с двумя из трех плоскостей проекций.
Каждый из следов плоскости совпадает со своей одноименной проекцией, а две другие разноименные проекции лежат на осях.