Приведем примеры замкнутых классов.

1.      Класс P , очевидно, является замкнутым.

2.      Пусть e  E . Обозначим через  T   множество всех функций  f (x , …, x )

из  P сохраняющих  e, т.е. таких, что f (a , …, a )  e, если  a  e, ( i = 1, …, n). Класс T очевидно, является замкнутым.

3.      Множество всех линейных функций из P образует замкнутый класс линей-

ных функций, который обозначается через  L ( или L ). Этот класс отличен от P при любом k > 2.

4.      Множество всех функций из P , представимых полиномами по модулю k, 

является замкнутым классом в P .

            Понятие замкнутого класса может быть приложено к решению вопроса об обос-новании неполноты некоторых систем.

Теорема Поста о полноте. По теореме Поста, чтобы система булевых функций была полной, надо, чтобы в ней существовали

1. Хотя бы одна функция, не сохраняющая 0;

2. Хотя бы одна функция, не сохраняющая 1;

3. Хотя бы одна нелинейная функция;

4. Хотя бы одна немонотонная функция;

5. Хотя бы одна несамодвойственная функция.

Исходя из этого, система функций является полной, так как в ней:

1) Не сохраняет 0: ; 2) Не сохраняет 1: ; 3) Нелинейна: ; 4) Немонотонна: ; 5) Несамодвойственны: .

На основе этой системы и строятся полиномы Жегалкина. 15

Задача состоит в следующем: осуществить прогулку по городу таким образом, чтобы, пройдя ровно по одному разу по каждому мосту, вернуть­ся в то же место, откуда начиналась прогулка. Решая эту задачу, Эйлер изобразил Кенигсберг в виде графа, отождествив его вершины с частями города, а ребра — с мостами, которыми связаны эти части.

Эйлеру удалось доказать, что искомого маршрута обхода города не существует.

Неориентированным графом  G(V, E) называется совокупность двух множеств: не пустого множества V (множества вершин) и множества E - множество неупорядочных  пар элементов из V  (множества ребер).

Пусть v и u вершины графа,  e = (v, u) это ребро графа, тогда вершина v и ребро e u называются инцидентными, вершина u и ребро e так же инцидентные.

Два ребра инцидентные одной вершине называются смежными.

Две вершины инциденты одному ребру называются смежными.

Степенью или валентностью вершины называется количество ребер инцидентности этой вершины d(V).

Минимальная степень графа (G). Максимальная степень графа (G).

Регулярным графом  степени k называется граф, степени всех вершин равны k .

Вершина называется изолированной, если ее степень равна 0.

Вершина называется висячей, если ее степень равна 1.

Петлей называется ребро, начинающееся  и заканчивающееся в одной вершине.

Кратными ребрами называется ребра инцидентные одной и той же паре вершин.

Простым графом  называется граф без петель и кратных ребер с конечным количеством вершин.

Граф называется полным, если любая пара вершин соединена одним ребром.

Маршрутом в графе  называется  последовательн  вершин  и ребер  v₀ v₁ v₂ v₃ …v_n.

Длиной маршрута называется количества ребер в нем.

Маршрут, в котором все вершины различны, называется простой цепью.

Замкнутая простая цепь называется простым циклом.

Замкнутая цепь называется циклом.

Расстоянием между вершинами u и v  называется длина кратчайшей цепи d(u, v).

Кратчайшая цепь, соединяющая вершины называется геодезическая.

Диаметром графа G называется длина длиннейшей геодезической цепи.

Орграф! При описании с помощью графов различных сетей, алгоритмов и т. п. часто необходимо учитывать не только то, какие точки соединены, но и в каком направлении.

Ориентированный граф или орграф  называется граф, у которого множество ребер является  множеством  упорядочных пар. Началом ребра называется вершина, указанная в паре первой, концом – вторая вершина этой пары (графически она указана стрелкой). Ребра при изображении ориентированных графов представляют стрелками. Ребро ориентированного графа называется дугой. Если вершины  u  и  v определяют дугу, то  вершина  u  называется антицидентом вершины  v.

Степенью входа (выхода) вершины орграфа называется число ребер, для которых эта вершина является концом (началом). Будем обозначать соответственно эти степени для некоторой вершины v  и .

Дуги орграфа называются кратными, если они имеют одинаковые начальные и конечные вершины, то есть одинаковые направления Путем  v₀ v₁…v_n,  где v_i   антицендент v_i+1.. Контуром в ориентированном графе называют путь начинающейся и заканчивающейся в одной вершине. Граф, в котором нет контура, назыв безконтурным16

Графы. Способы задания. Матрица смежности. Матрица инцидентности.