3.5 Векторные произведения ортов

При нахождении векторных произведений ортов в ПДСК полезным окажется рисунок 29

Рис.29

Векторное произведение в координатной форме

Пусть векторы заданы в координатной форме

Тогда

Вычисляя последний определитель методом разложения по элементам первой строки, получаем, что

Пример 28 (площадь треугольника)

Вычислить площадь треугольника, заданного своими вершинами А(2; 2; 2), В(4; 0; 3) и С(0; 1; 0).

Решение

Идея решения основана на том, что площадь треугольника АВС – это половина площади параллелограмма, а площадь параллелограмма со сторонами АВ и АС – модуль векторного произведения векторов АВ и АС. Коль скоро так, решение ищем в три шага

- находим векторы АВ и АС;

- находим векторное произведение найденных векторов;

- находим длину найденного вектора;

- половина найденной длины – искомая площадь.

Шаг 1

«Найти вектор» - это значит найти его координаты:

вектор АВ

Шаг 2

Векторное произведение векторов АВ и АС

При нахождении площади параллелограмма, построенного на векторах АВ и АС, используем тот факт, что наши векторы – свободные векторы, а потому мы всегда параллельным переносом сможем свести их к общему началу.

Шаг 3

Находим площадь параллелограмма, построенного на векторах АВ и АС, т.е. длину векторного произведения , т.е., длину вектора

Шаг 4

Искомая площадь равна половине площади параллелограмма, построенного на векторах АВ и АС

Ответ

Площадь треугольника АВС равна

3.6 Смешанное произведение векторов

Правая тройка векторов

Правой тройкой векторов назовем тройку векторов, подчиняющуюся правилу буравчика, т.е., для трех векторов имеют место равенства

Помочь запомнить это поможет рисунок 30

Рис.30

Т.е., вектор умножаем векторно на вектор - получаем вектор и т.д.

Не трудно убедиться в том, что и векторы ортонормированного базиса в ПДСК образуют правую тройку векторов.

Смешанное произведение векторов

Смешанным произведением векторов назовем число, определяемое выражением

Т.е., в одном произведении смешаны сразу два: векторное и скалярное – вектор-результат векторного произведения умножается на вектор скалярно (вот почему в итоге получаем число).

Геометрическое свойство смешанного произведения векторов

Смешанное произведение векторов равно объему параллеле- пипеда, построенного на перемножаемых векторах, взятому со знаком «+», если эта тройка правая и со знаком « - », если эта тройка «левая» (не правая).

Условие компланарности векторов

Векторы компланарны (расположены в одной плоскости), если их смешанное произведение равно нулю:

Смешанное произведение для векторов, заданных в координатной форме

Для векторов

смешанное произведение определяется выражением

Откуда

Условие компланарности для векторов, заданных в координатной форме

Пример 29 (вычисление объема пирамиды)

Найти объем треугольной пирамиды с вершинами A(2; 2; 2), B(4; 3; 3), C(4; 5; 4) и D(5; 5; 6).

Решение

Идея задачи основана на том факте, что объем пирамиды равен 1/6 объема параллелепипеда, а потому алгоритм решения

- находим векторы AB, AC и AD;

- находим смешанное произведение найденных векторов (это будет объем параллелелепипеда);

- находим 1/6 от найденного объема – это и будет искомый объем.

Шаг 1

Находим векторы AB, AC и AD

Шаг 2

Вычисляем объем параллелепипеда, построенного на векторах AB, AC и AD

Шаг 3

Вычисляем V_{пирамид}. С учетом того, что получаем

Ответ

Объем пирамиды ABCD равен

4 УРАВНЕНИЕ ПОВЕРХНОСТИ И УРАВНЕНИЕ ЛИНИИ В ПРОСТРАНСТВЕ

Поверхность

Поверхность, определенная некоторым уравнением в данной системе координат есть геометрическое место точек, координаты которых удовлетворяют данному уравнению F(x; y; z) = 0.

Линия в пространстве

Если уравнения F(x; y; z) = 0 и Ф (x; y; z) = 0 определяют некоторую поверхность, то линия L (x; y; z) = 0 может быть определена как геометрическое место точек общих для обеих поверхностей (линия пересечения поверхностей)

.

4.1 Плоскость, как поверхность первого порядка

Существует, как минимум, три определения плоскости:

1. Плоскость есть поверхность, которая полностью каждую прямую, соединяющую любые две ее точки.

2. Плоскость есть множество точек пространства, равноудаленных от данных двух точек.

А теперь об одной из форм уравнения плоскости.

Во-первых, со школьных времен известно; «любые не совпадающие и не лежащие на одной прямой три точки определяют плоскость, причем единственную». Не случайно абсолютно устойчив (т.е. «не качается») стул на трех ножках и не устойчив («качается») стул на двух и более чем на трех ножках. Во-вторых, вектор нормали к плоскости ориентирует ее в пространстве (см. Рис.31)

Рис.31

Пусть искомая плоскость π проходит через точку М₀ перпендикулярно вектору , тогда

- во-первых, вектор есть результат векторного произведения вектора М₀М₂ на вектор М₀М₁

- во-вторых, вектор перпендикулярен и вектору М₀М₂, и вектору М₁М₂. Откуда, из условия ортогональности векторов получаем, что скалярное произведение на вектор М₀М₂ ( или на вектор М₀М₁) равно нулю. Если точка М₂ имеет координаты (x; y; z), то скалярное произведение вектора на вектор М₀М₂ должно быть равно нулю. С учетом того, что вектор М₀М₂ определяется как

получаем, что