- •1. Понятие ф-ции.
- •2)Понятие обратной функции.
- •6) Предел монотонной последовательности.
- •3)Основные элементарные ф-ции их графики и св-ва.
- •5)Предел последовательности
- •12)Непрерывность ф-ции.
- •7)Предел ф-ции в точке.
- •11)Односторонний предел.
- •15)Использование непрерывности ф-ции для вычисления пределов.
- •8)Бесконечно малые и бесконечно большие ф-ции.
- •14)Односторонняя непрерывность, классификация разрыва ф-ции.
- •13)Непрерывность суммы, произведения, частного и сложной ф-ции.
- •9)Основные св-ва предельного перехода, а именно ограничение ф-ции имеющей предел, переход к пределу с равенством и неравенством. Предел монотонной ф-ции.
- •16)Св-ва непрерывных ф-ций на отрезке.
- •27)Инвариантность формы дифференциала.
- •29)Производные высших порядков для ф-ций, заданных параметрически и неявным образом.
- •10) Замечательные пределы.
- •35)Условия монотонности ф-ции.
- •34)Раскрытие неопределенности. Правило Лопиталя.
- •2 8)Производные высших порядков для ф-ций, заданных в явном виде.
- •18)Геометрический и механический смысл производной.
- •30)Поведение ф-ции на интервале (основные теоремы дифференцирования)
- •3 1)Теорема Роля:
- •32)Теорема Лагранжа:
- •33)Теорема о приращении двух ф-ций(Коши)
- •36)Максимумы и минимумы. Необходимое и достаточное условие максимума и минимума. Общая схема нахождения экстремумы.
- •45)Интегрирование по частям.
- •46)Циклические интегралы.
- •52)Интегрирование некоторых классов тригонометрических ф-ции.
- •53)Интегрирование некоторых иррациональных ф-ций с помощью тригонометрических ф-ции.
- •11111Определенный интеграл.
- •54)Классы интегрируемых ф-ций.
- •55)Основные св-ва определенного интеграла.
- •5. Теорема о среднем
- •57)Определенный интеграл, как ф-ция верхнего предела.
- •56)Вычисление определенного интеграла. Формула Ньютона-Лейбница.
- •58)Замена переменной в определенном интеграле.
- •59)Вычисление площадей в прямоугольной системе координат.
- •66) Приложение определенного интеграла для решения ф-их задач.
- •67)Несобственные интегралы.
- •68)Признаки сходимости несобственного интеграла.
- •69)Несобственные интегралы второго рода.
- •5. Теорема о среднем
- •47)Рациональные дроби. Простейшие рациональные дроби и их интегрирование.
- •23)Производные основных элементарных ф-ций.
- •22)Понятие односторонней и бесконечной производной.
- •21)Производная сложной ф-ции, обратной,параметрической и заданной неявно.
6) Предел монотонной последовательности.
Опр: монотонная последовательность называется возраст если для всякого n'>n выполняется ( )
Опр: монотонная последовательность называется убывающей если для всякого n'>n выполняется ( )
Указанные последовательности называются монотонными.
Теорема 1: пусть дана монотонная возрастающ последовательность Хn, если она огранич сверху, т.е. Xn<=M,для всякого M –константа, то она имеет конечный предел, в противном случае она стремится к +оо.
Теорема 2: пусть дана монотонная убывающая последовательность Хn, если она огранич снизу, т.е. Xn>=M,для всякого M –константа, то она имеет конечный предел, в противном случае она стремится к -оо.
3)Основные элементарные ф-ции их графики и св-ва.
Опр: элементарные ф-ции-которые можно получить из постоянных величин и
ф-ции:степенной, показательной, логарифмической, тригонометрической, обратной тригонометрической, гиперболической, с помощью + - */, и композиций.
1) у=|x|
2) y=signx (1при x>0,0 при x=0,-1при x<0)
3) y=E(x)=[x]=n, при n<=x<n+1,n Z.
4) рациональные и дробнорациональые. .
5) показательные у= x , y , a>0,a ,y=exp .
6) логарифмическая .
7) тригономитрическая y=secx=1/cosx, y=cosecx=1/sinx.
8) гиперболические ф-ции
9) обратно тригонометрические.
y=arcsecx y=arccosecx
10) степенная y=X^a
a-целое положительное
а-целое отрицательное,x
а-дробно рациональная
5)Предел последовательности
Рассмотрим ф-цию целочисленного аргумента n, значением аргумента пусть Хn. Х=f(n)
Х1=f(1), Х2=f(2)…
Опр: Последовательностью называют бесконечное множество чисел, нумерованных с помощью целых чисел и расположенных в порядке возрастания номеров.
Х1,Х2,….Хn
Может случится, что с увеличением n значения Хn сколько угодно приближаются к А тогда, говорят А предел f(n) или предел последовательности Xn.
Опр: Чичло А называется пределом последовательности, если для всех достаточно больших целых n соответствует значенгие Yn как угодно мало отличается от числа А.
Опр: постоянное число а называется пределом последовательности X1,X2,..Xn,если для всякого Е>0 сколько бы мало оно нибыло существует такое N, что для всех значений Хn у которого n>N удовлитворяет неравенству |Xn-a|<E, то говорят что
Xna noo
Замечание: номер N указанный в определении, зависит от выбора E. С уменьшением N( ) в общем случае N увеличивается N=N( )
Замечание: постоянная величина Xn имеет своим числом число а.
Выполняется для любого эпсилон и для любого n. Xn=a, Xna noo
Замечание: из определения следует, что последовательность не может иметь двух различных пределов.
12)Непрерывность ф-ции.
Определение непрерывности ф-ции в точке. Критерий непрерывности ф-ции в точке.
Рассмотрим ф-цию y=f(х), которая определена на множестве Х, Пусть х0 яв-ся предельной точкой Х, х0 Х.
Опр: ф-ция y=f(x) определена в окрестности точки х0, тогда она будет непрерывна в этой точке, если при xx0 limf(x)=f(x0),
Опр: ф-ция y=f(x) определена в окрестности точки х0, непрерывна в этой точке, если для всякого Е>0 существует б>0, что лишь только |x-x0|<б так |f(x)-f(x0)|<E
Опр: x-x0= x, f(x)-f(x0)= y, ф-ция y=f(x)непрерывна в точке х0 если для всякого Е>0 существует б>0, что лишь только | x|>0, так сразу | y|>0
Критерий:Для того чтобы ф-ция была неперывна в х0 необходимо и достаточно чтобы:
Необходимым и достаточным условием непрерывности функции в точке x ноль является равенство , если бесконечно малому приращению соответствует БМ –ая приращение аргумента. Функция называется непрерывной на интервале , если она непрерывна в каждой точке.