5. Дифференцируемость

- не линейное отображение

- заменяется приближенным линейным

Пространства должны быть нормируемые.

Говорят, в векторном пространстве задана норма, когда каждому вектору сопоставлено число не отрицательное.

Свойства норм:

1. (вектор = 0) (когда 0 вектор)

Операции над векторами:

Умножать на число и складывать.

2. 

3. 

Можем определить, что такое 0 малое, меняя норму.

Расстояние между

Помимо того, что пространство нормируемое, оно еще полное.

Полное нормируемое пространство называется Банахово.

- полное нормируемое пространство

Функции одной переменной:

1. Дифференцируема

2. Непрерывна

Если , то и слагаемое , то и разность , то функция непрерывна.

А – линейный оператор

(величина не ограничена, поэтому оператор не ограничен)

Если существует конечное число sup здесь, то оператор называется ограниченным.

Пример не ограниченного линейного оператора.

Действие из пространства

- есть непрерывная производная

- непрерывная функция

имеет непрерывную производную

7.Производная сложной функции.

=

АВ – производная

Сначала предположим, что дифференцируемость требует ограниченности.

Фиксировали точку в которой берется производная.

- приращение

- величина более высокого порядка малости

- главная часть приращения – дифференциал

Справедливо для маленьких

Пример : функции скалярные

- скалярное произведение градиента на

8.Касательная плоскость. Нормаль поверхности.

случай 2-ух переменных

Есть поверхность.

Возьмем на ней точки.

Разложим z

- величина высокого порядка малости

Отбросим величины более высокого порядка малости, чем 1

(вектор нормали)

Координаты вектора нормали:

Вектор нормали – направляющий вектор

(уравнение нормали)

Похожие свойства линейности(которые переносятся)

1. 

2. 

3. 

- производная суммы