23. Использование законов распределения случайных величин

Законы распределения широко используются для управления параметрами ТП с тем, чтобы обеспечить показатели качества деталей в заданных пределах. С их помощью определяют запас надежности TII для обеспечения обработки деталей без брака. Они помогают рассчитать процент вероятного брака, определить количество деталей, требующих дополнительной обработки, позволяют сопоставить точность обработки на различном оборудовании, оснастке, инструменте, проводить настройку станков, комплектовать детали для сборки. По виду кривых распределения можно судить о наличии сильнодействующих факторов в процессе и наметить пути управления ТП. С их помощью организуют процесс технических измерений, определяют количество деталей из партии, подлежащих измерениям (как говорят, "объем выборки") и периодичность измерений, оценивают "риск производителя" (когда ошибочно бракуют годные изделия) и "риск потребителя" (когда ошибочно принимают бракованные детали как годные), определяют погрешности измерений.

Вид кривой распределения (закон распределения) случайной величины зависит от природы и условий образования этой ве­личины. На практике часто встречаются следующие законы (рис. 2): а) закон Гаусса (нормального распределения) — описывает, в частности, рассеяние размеров в партии деталей средней точности (12...9 квалитетов), а также погрешность результатов измерений; б) закон равнобедренного треугольника (закон Симпсона) — при обработке с точностью 6...8 квалитетов; в) закон равной вероятности — при обработке высокоточных деталей (4...5 квалитет); г) закон эксцентриситета (закон Релея) — при обеспечении допусков расположения (биения, параллельности, перпендикулярности и др.); д) показательный закон — при оценке надежности работы изделий; е) различные комбинации этих законов и др.

24. Закон распределения Гаусса

Закон распределения Гаусса имеет место, когда случайная величина (например, размер после обработки, измеренный раз­мер и др.) является функцией большого числа независимых рав­нозначных факторов. Нормальное распределение имеет вид

где т_x и s_х — математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение соответственно. График плотности вероятности нормального распределения показан на рис. 3, а, а интегральная функция распределения — на рис. 3, б. Кривая распределения одномодальна и симметрична относительно вертикали, проходящей через абсциссу т_x = a₀, достигает в ней максимума. При изменении значения т_x кривая смещается вдоль оси х без изменения формы. С ростом значения s_x кривая "прижимается" к оси х, растягиваясь

вдоль нее, т.е. становится более пологой. При уменьшении s_x кривая становится более "острой", т.е. все значения х группируются вокруг значения т_х. Вероятность попадания х в заданный интервал

(a, b) при нормальном распределении легко рассчитывается с по­мощью табулированной функции Лапласа Ф (Z) (приложение 1) по формуле

где Z_b и Z_a — аргументы функции Лапласа, Z_b = (b – т_x )/s_x. и Z_a = (а – т_x )/ s_x, а сами значения функции находят по справочным

таблицам для этих аргументов. Это свойство часто используется для расчета вероятного брака при выходе за границы заданного ин­тервала, который можно рассматривать как заданное поле допуска параметра изделия.

В частности, предельное отклонение со нормально распреде­ленной случайной величины Х равно ± 3 s_x или w = б s_x. Ана­логичные параметры распределения известны и для других за­конов распределения. Однако все они являются теоретическими

(идеальными) и характеризуют генеральные совокупности слу­чайных величин. На практике эти параметры не известны, но их можно оценить по результатам наблюдений (измерений) от­дельных значений случайных величин, так или иначе выбранных из генеральной совокупности. Поэтому эти оценки называют выборочными. Их точность тем выше, чем больше объем выборки (число наблюдений).