Линейные уравнения с одним неизвестным, содержащие сравнения

Давайте посмотрим, как решаются уравнения с одним неизвестным, содержащие сравнения, то есть уравнения ax = b (mod n). Уравнение этого типа может не иметь ни одного решения или иметь ограниченное число решений. Предположим, что НОД (a, n) = d. Если d†b, решение не существует. Если d|b, то имеется d решений.

Если d|b, то для того, чтобы найти решения, мы используем следующую стратегию.

Сократить уравнение, разделив обе стороны уравнения (включая модуль) на d.

Умножить обе стороны сокращенного уравнения на мультипликативную инверсию, чтобы найти конкретное решение x0.

Общие решения будут x = x0 + k (n/d) для k = 0, 1..., (d – 1).

Система линейных уравнений, содержащих сравнения

Мы можем решить систему линейных уравнений с одним и тем же модулем, если матрица, сформированная из коэффициентов системы уравнений, имеет обратную матрицу. Для решения уравнения составляются три матрицы. Первая — квадратная матрица — формируется из коэффициентов уравнения. Вторая — матрица-столбец — составляется из переменных. Третья — матрица-столбец в правой стороне оператора сравнения — состоит из значения bn. Мы можем это уравнение представить как произведение матриц. Если обе стороны сравнения умножить на мультипликативную инверсию первой матрицы, в результате мы получим решение системы уравнений

Пример

Решить систему следующих трех уравнений:

3x + 5y + 7z = 3 (mod 16)

x + 4y + 13z = 5 (mod 16)

2x + 7y + 3z = 4 (mod 16)

Решение

Здесь x, y и z играют роли x1, x2, и x3. Матрица, сформированная из коэффициентов уравнений, — обратима. Мы находим мультипликативную инверсию матрицы и умножаем ее на матрицу столбца, сформированную из 3, 5 и 4. Результат —x=15(mod16), y=4(mod16) и z=14(mod16). Мы можем проверить ответ, подставляя эти значения в уравнения.

11.Шифрование симметричными ключами использует единственный ключ (ключ, содержащий непосредственно набор кодируемых значений) и для кодирования и для дешифрования. Кроме того, алгоритмы шифрования и дешифрования — инверсии друг друга. Если P — обычный текст, C — зашифрованный текст, а K — ключ, алгоритм кодирования Ek (x) создает зашифрованный текст из исходного текста.

Алгоритм же дешифрования Dk (x) создает исходный текст из зашифрованного текста. Мы предполагаем, что Ek (x) и Dk (x) инверсны по отношению друг к другу. Они применяются, последовательно преобразуя информацию из одного вида в другой и обратно

Можно предположить, что шифр был бы более безопасен, если мы скрываем и алгоритм шифрования/дешифрования, и ключ засекречивания, это не рекомендуется. Согласно принципу Керкхоффа, нужно всегда предполагать, что противник — Ева — знает алгоритм кодирования/дешифрования. Противодействие шифра атаке должно базироваться только на тайне ключа. Другими словами, предполагается, что ключ должен быть настолько труден, что не надо скрывать алгоритм кодирования/дешифрования. Эти принципиальные положения станут более ясны, когда мы будем изучать современные шифры. Для современных шифров сегодня существует немного алгоритмов. Множество ключей (Ключевой домен) для каждого алгоритма, однако, настолько большое число, что мешает противнику найти ключ.

13. В аффинном шифре каждой букве алфавита размера m ставится в соответствие число из диапазона 0..m − 1. Затем при помощимодульной арифметики для каждого числа, соответствующего букве исходного алфавита, вычисляется новое число, которое заменит старое в шифротексте. Функция шифрования^[2] для каждой буквы

где модуль m — размер алфавита, а пара a и b — ключ шифра. Значение a должно быть выбрано таким, что a и m — взаимно простые числа. Функция расшифрования^[2]

где a ^{− 1} — обратное к a число по модулю m. То есть оно удовлетворяет уравнению^[2]

Обратное к a число существует только в том случае, когда a и m — взаимно простые. Значит, при отсутствии ограничений на выбор числа a расшифрование может оказаться невозможным. Покажем, что функция расшифрования является обратной к функции шифрования

Количество возможных ключей для аффинного шифра можно записать через функцию Эйлера как φ(m)m^[1].Основная уязвимость шифра заключается в том, что криптоаналитик может выяснить (путем частотного анализа^[4], полного перебора^[1], угадывания или каким-либо другим способом) соответствие между двумя любыми буквами исходного текста и шифротекста. Тогда ключ может быть найдет путем решения системы уравнений^[4]. Кроме того, так мы знаем, что a и m — взаимно простые, это позволяет уменьшить количество проверяемых ключей для полного перебора.

14. Для зашифровывания может использоваться таблица алфавитов, называемая tabula recta или квадрат (таблица) Виженера. Применительно к латинскому алфавиту таблица Виженера составляется из строк по 26 символов, причём каждая следующая строка сдвигается на несколько позиций. Таким образом, в таблице получается 26 различных шифров Цезаря. На разных этапах кодировки шифр Виженера использует различные алфавиты из этой таблицы. На каждом этапе шифрования используются различные алфавиты, выбираемые в зависимости от символа ключевого слова. Например, предположим, что исходный текст имеет вид:

ATTACKATDAWN

Человек, посылающий сообщение, записывает ключевое слово («LEMON») циклически до тех пор, пока его длина не будет соответствовать длине исходного текста:

LEMONLEMONLE

Первый символ исходного текста A зашифрован последовательностью L, которая является первым символом ключа. Первый символ L шифрованного текста находится на пересечении строки L и столбца A в таблице Виженера. Точно так же для второго символа исходного текста используется второй символ ключа; то есть второй символ шифрованного текста X получается на пересечении строки E и столбца T. Остальная часть исходного текста шифруется подобным способом.

Исходный текст: ATTACKATDAWN

Ключ: LEMONLEMONLE

Зашифрованный текст: LXFOPVEFRNHR

Расшифровывание производится следующим образом: находим в таблице Виженера строку, соответствующую первому символу ключевого слова; в данной строке находим первый символ зашифрованного текста. Столбец, в котором находится данный символ, соответствует первому символу исходного текста. Следующие символы зашифрованного текста расшифровываются подобным образом.

Если буквы A-Z соответствуют числам 0-25, то шифрование Виженера можно записать в виде формулы:

Расшифровка:

15. Шифр Плейфера использует матрицу 5х5 (для латинского алфавита, для кирилического алфавита необходимо увеличить размер матрицы до 4х8), содержащую ключевое слово или фразу. Для создания матрицы и использования шифра достаточно запомнить ключевое слово и четыре простых правила. Чтобы составить ключевую матрицу, в первую очередь нужно заполнить пустые ячейки матрицы буквами ключевого слова (не записывая повторяющиеся символы), потом заполнить оставшиеся ячейки матрицы символами алфавита, не встречающимися в ключевом слове, по порядку (в английских текстах обычно опускается символ «Q», чтобы уменьшить алфавит, в других версиях «I» и «J» объединяются в одну ячейку). Ключевое слово может быть записано в верхней строке матрицы слева направо, либо по спирали из левого верхнего угла к центру. Ключевое слово, дополненное алфавитом составляет матрицу 5х5 и является ключом шифра.

Для того, чтобы зашифровать сообщение необходимо разбить его на биграммы (группы из двух символов), например «Hello World» становится «HE LL OW OR LD», и отыскать эти биграммы в таблице. Два символа биграммы соответствуют углам прямоугольника в ключевой матрице. Определяем положения углов этого прямоугольника относительно друг друга. Затем руководствуясь следующими 4 правилами зашифровываем пары символов исходного текста:

1) Если два символа биграммы совпадают, добавляем после первого символа «Х», зашифровываем новую пару символов и продолжаем. В некоторых вариантах шифра Плейфера вместо «Х» используется «Q».

2) Если символы биграммы исходного текста встречаются в одной строке, то эти символы замещаются на символы, расположенные в ближайших столбцах справа от соответствующих символов. Если символ является последним в строке, то он заменяется на первый символ этой же строки.

3) Если символы биграммы исходного текста встречаются в одном столбце, то они преобразуются в символы того же столбца, находящимися непосредственно под ними. Если символ является нижним в столбце, то он заменяется на первый символ этого же столбца.

4) Если символы биграммы исходного текста находятся в разных столбцах и разных строках, то они заменяются на символы, находящиеся в тех же строках, но соответствующие другим углам прямоугольника.

Для расшифровки необходимо использовать инверсию этих четырёх правил, откидывая символы «Х» (или «Q»), если они не несут смысла в исходном сообщении.

4.Алгоритм Евклида

Нахождение наибольшего общего делителя (НОД) двух положительных целых чисел путем составления списка всех общих делителей непригодно для достаточно больших чисел.

Алгоритм Евклида основан на следующих двух фактах (доказательство см. в приложении Q):

Факт 1: НОД (a, 0) = a

Факт 2: НОД (a, b) = НОД (b, r), где r — остаток от деления a на b

Первый факт говорит, что если второе целое число — 0, наибольший общий делитель равен первому числу. Второй факт позволяет нам изменять значение a на b, пока b не станет 0. Например, вычисляя НОД (36, 10), мы можем использовать второй факт несколько раз и один раз первый факт, как показано ниже.

НОД(36,10) = НОД(10,6) = НОД(6,4) = НОД(4,2) = НОД(2,0)

Другими словами, НОД (36, 10) = 2, НОД (10, 6) = 2, и так далее. Это означает, что вместо вычисления НОД (36, 10) мы можем найти НОД (2, 0).

Для определения НОД мы используем две переменные, r₁ и r₂, чтобы запоминать изменяющиеся значения в течение всего процесса. Они имеют начальное значение a и b. На каждом шаге мы вычисляем остаток от деления r₁ на r₂ и храним результат в виде переменной r. Потом заменяем r₁, на r₂ и r₂ на r и продолжаем шаги, пока r не станет равным 0. В этот момент процесс останавливается и НОД (a, b) равен r₁.